Вписанная в треугольник ABC окружность ω1 касается стороны BC в точке N так, что CN : NB = 1 : 2. Окружность ω2 касается стороны BC в точке M так, что BM : MC = 1 : 2, а также касается продолжения стороны AC за точку C.
а) Докажите, что прямая AB касается окружности ω2.
б) Найдите угол BAC, если BC ⊥ AC.
а) Пусть окружность ω1 касается стороны AC в точке K и стороны AB в точке L. Пусть окружность ω2 касается стороны AC в точке Q. Пусть CN = CK = x, тогда
где p — полупериметр треугольника ABC, откуда 
Далее,
Заметим, что вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке M. Кроме того, она вписана в угол BCQ, но в угол BCQ можно вписать только одну окружность, касающуюся стороны BC в точке M. Следовательно, окружность ω2 совпадает с вневписанной окружностью, значит, окружность ω2 касается прямой AB.
б) Пусть AK = AL = y. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ABC:
откуда AB = 5x, AC = 4x. Следовательно, 
Ответ: 