РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 676935 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Введение замены, Выделение полного квадрата

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка в степени 4 меньше или равно 4.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка в степени 4 меньше или равно 4 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка конец дроби плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка меньше или равно 4.$

Пусть $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка =t,$ тогда:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс 4t меньше или равно 4 равносильно дробь: числитель: 4t в квадрате минус 4t плюс 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , t меньше 0. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной. Решим уравнение $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ :

$логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow x минус 1= левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате минус 15x плюс 50=0 равносильно совокупность выражений x=5, x=10. конец совокупности .$

Сделаем проверку: число 5 подходит, а число 10 не подходит, поскольку

$логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 5 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$   —  верно,

$логарифм по основанию левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 10 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$   —  неверно.

Значит, корнем является только число 5.

Решим неравенство $t меньше 0,$ используя метод рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка меньше 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 7 минус x минус 1, знаменатель: x минус 1 минус 1 конец дроби меньше 0 , 7 минус x больше 0, x минус 1 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 6 минус x, знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше 0 , 1 меньше x меньше 7 конец системы . равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше 2, 6 меньше x меньше 7. конец совокупности .$

Объединяя ответы рассмотренных случаев, получаем ответ.

Ответ: $левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6;7 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

676935

$левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6;7 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Введение замены, Выделение полного квадрата

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	676935	$левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6;7 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка .$