РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 681215 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Степени, Метод интервалов, Выделение полного квадрата

Неравенства. Показательные неравенства

Решите неравенство $дробь: числитель: 27 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 50 x в квадрате плюс 50 x плюс 12,5 конец дроби больше или равно 0.$

Решение. Заметим, что выражение в числителе дроби представляет собой куб разности:

$27 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 1 = 27 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка минус 27 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 9 умножить на 3 в степени x минус 1 = левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе ,$

а выражение в знаменателе можно представить в виде полного квадрата:

$50 x в квадрате плюс 50 x плюс 12,5 = 12,5 умножить на левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 4x плюс 1 правая круглая скобка = 12,5 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате .$

Решим неравенство методом интервалов. Для этого рационализируем неравенство, применив теорему о знаках: при положительных a выражения $левая круглая скобка a в степени b минус a в степени c правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка$ имеют одинаковые знаки. Получим:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3 в степени 0 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений минус 1 меньше или равно x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3 в степени 0 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений минус 1 меньше или равно x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

681215

$левая квадратная скобка минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Степени, Метод интервалов, Выделение полного квадрата

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	681215	$левая квадратная скобка минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$