PDF-версии: 
В треугольнике ABC проведены высота AH и медиана AM, угол ACB равен 30°. Точка H лежит на отрезке BM. В треугольнике ACM проведена высота MQ. Прямые MQ и AH пересекаются в точке F. Известно, что AM — биссектриса угла HAC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника CFM, если AB = 10.
Решение. а) Прямоугольные треугольники AQM и AHM равны, поскольку имеют общую гипотенузу и равные острые углы. Следовательно, HM = MQ как соответственные элементы равных фигур. В прямоугольном треугольнике MQC один из острых углов равен 30°, значит, катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Не ограничивая общности, положим MQ = x, а MC = 2x. По свойству биссектрисы
откуда AH = AQ и AC = 2AQ. Далее, AQ = QC, а из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим: AM = MC. Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
б) В треугольнике ABC катет AB лежит против угла в 30°, а потому он вдвое меньше гипотенузы, откуда BC = 20 и MC = 10. Квадрат катета в прямоугольном треугольнике равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Значит, 
откуда
Следовательно, HM = 10 – 5 = 5. Заметим, что треугольники FHM и CQM равны, поскольку HM = QM и углы QMC и HMF равны как вертикальные. Отсюда FM = MC = 10, а по теореме Пифагора в треугольнике FHM:
Итак, искомая площадь равна
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк)
а) В прямоугольном треугольнике CQM 
а потому смежный с ним 
В четырехугольнике AQMH сумма градусных мер противолежащих углов равна 180°, значит, он вписанный. Отсюда 
и, как следствие, 
Из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим AM = MC. Получаем, что отрезок AM — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине A треугольника ABC расположен прямой угол.
б) В треугольнике ABC катет AB лежит против угла в 30°, а потому он вдвое меньше гипотенузы, откуда BC = 20 и MC = 10. В прямоугольном треугольнике AHB угол 
значит, 
Далее 
как вертикальные углы, откуда в прямоугольном треугольнике FHM получаем 
и 
Следовательно, 
и
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |