РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 681246 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Центр;

Задания 15 ЕГЭ–2025.

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Степени, Метод интервалов, Выделение полного квадрата, Разложение на множители

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $дробь: числитель: x в кубе минус x в квадрате минус x плюс 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка плюс 64 конец дроби меньше или равно 0 .$

Решение. Разложим на множители числитель:

$x в кубе минус x в квадрате минус x плюс 1= x в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка ,$

Выражение в знаменателе можно представить в виде полного квадрата:

$4 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка плюс 64 = левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка в квадрате .$

Решим неравенство методом интервалов и рационализации, для этого применим теорему о знаках: при положительных a выражения $левая круглая скобка a в степени b минус a в степени c правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка$ имеют одинаковые знаки. Получим:

$дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 2 в кубе правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше x меньше или равно минус 1, x = 1. конец совокупности .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка минус 2 в кубе правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше x меньше или равно минус 1, x = 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

681246

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Центр;

Задания 15 ЕГЭ–2025.

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	681246	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$