РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что $A B=C D=3$ и $B C=D E=4.$

а)  Докажите, что $AC = CE.$

б)  Найдите длину диагонали BE, если $AD = 6.$

ИЛИ

В параллелограмме ABCD c острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причем точка P лежит на стороне AD, а точка Q  — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM  =  BP, AB  =  BQ.

а)  Докажите, что BM  =  PQ.

б)  Найдите площадь треугольника APQ, если AM  =  BP  =  8, AB  =  BQ  =  10.

Решение. а)  Дуги, стягиваемые равными хордами, равны, поэтому равны углы BAC и DCE и BCA и DEC (см. рис. 1). В треугольнике сумма углов 180°, а значит, углы ABC и CDE также равны. Тогда треугольники ABC и CDE равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, $AC=CE.$

Рис. 1

Рис. 2

б)  Пусть AD пересекается с BE в точке M (см. рис. 2). Дуги, стягиваемые равными хордами, равны, поэтому углы DCE и BEC равны. Следовательно, прямая CD параллельна прямой BE. Аналогично прямая BC параллельна прямой AD. Значит, BCDM  — параллелограмм, а потому $BC=DM=4$ и $CD=BM=3.$ По свойству пересекающихся хорд получаем:

$BM умножить на ME = DM умножить на MA равносильно BM умножить на ME = DM левая круглая скобка AD минус DM правая круглая скобка ,$

откуда $ME = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$ Таким образом, $BE = BM плюс ME,$ следовательно, $BE = дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: б)   $дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби .$

ИЛИ

а)  Пусть угол ABP равен α. Тогда $\angle BAP = \angle BCQ = 90 градусов минус альфа .$ Значит, угол CBQ равен α и угол PBQ равен  $90 градусов минус альфа .$ Треугольники ABM и BQP равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому отрезок BM равен отрезку PQ.

б)  Проведем прямую QH параллельно прямой DP. Тогда треугольник ABP равен треугольнику BQH по гипотенузе и острому углу. По теореме Пифагора получим:

$AP = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус BP в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 10 в квадрате минус 8 в квадрате конец аргумента = 6.$

Отрезок BH равен отрезку AP, поэтому $HP = BP минус BH = 2.$ Высота треугольника APQ, проведенная из вершины Q, равна отрезку HP. Таким образом, площадь треугольника APQ равна

$S_APQ = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AP умножить на HP = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 2 = 6.$

Ответ: б)  6.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ключ