Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что 
и 
а) Докажите, что 
б) Найдите длину диагонали BE, если 
ИЛИ
В параллелограмме ABCD c острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причем точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM = BP, AB = BQ.
а) Докажите, что BM = PQ.
б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM = BP = 8, AB = BQ = 10.
а) Дуги, стягиваемые равными хордами, равны, поэтому равны углы BAC и DCE и BCA и DEC (см. рис. 1). В треугольнике сумма углов 180°, а значит, углы ABC и CDE также равны. Тогда треугольники ABC и CDE равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, 
б) Пусть AD пересекается с BE в точке M (см. рис. 2). Дуги, стягиваемые равными хордами, равны, поэтому углы DCE и BEC равны. Следовательно, прямая CD параллельна прямой BE. Аналогично прямая BC параллельна прямой AD. Значит, BCDM — параллелограмм, а потому 
и 
По свойству пересекающихся хорд получаем:
откуда 
Таким образом, 
следовательно, 
Ответ: б) 
ИЛИ
а) Пусть угол ABP равен α. Тогда 
Значит, угол CBQ равен α и угол PBQ 
б) Проведем прямую QH параллельно прямой DP. Тогда треугольник ABP равен треугольнику BQH по гипотенузе и острому углу. По теореме Пифагора получим:
Отрезок BH равен отрезку AP, поэтому 
Высота треугольника APQ, проведенная из вершины Q, равна отрезку HP. Таким образом, площадь треугольника APQ равна
Ответ: б) 6.