PDF-версии: 
Из пары натуральных чисел (a; b), где 
за один ход получают пару (a + b; a – b).
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?
в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?
ИЛИ
На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.
поэтому второй ход даст 
Дальше все пары будут либо вида 
либо вида 
Поскольку 806 кратно 31, а ни одно из чисел в этих парах не кратно 31, получить его нельзя.
и 
откуда 
и 
и 
должны быть целыми числами. Следовательно, числа 
и 
должны делиться на 4, а значит, их разность 
также должна делиться на 4. Таким образом, разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 4. Аналогично можно показать, что разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 5, а значит, разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 20. Разность чисел 2013 и 403 равна 1610 и не делится на 20. Следовательно, числа 403 и 2013 одновременно не могут быть среди записанных чисел.
где k — натуральное число или 0. Остаток от деления такого числа на 4 равен 3. С другой стороны, остаток от деления любого квадрата натурального числа на 4 равен 0 или 1. Значит, среди чисел, записанных на доске, не может быть квадратов натуральных чисел.
должны давать одинаковые остатки при делении на 20, то есть число 
должно делиться на 20. Поскольку 
одно из чисел 
и 
должно делиться на 5. Таким образом, перебирая числа, для которых это выполнено, то есть числа 4, 6, 9, 11, 14, 16, ..., получаем, что наименьшее значение n, для которого 
служит набор чисел: 1, 21, 41, 61, 81, 101, 121, 141, 161, 181, содержащий число 81.