Из пары натуральных чисел (a; b), где 
за один ход получают пару (a + b; a – b).
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?
в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?
ИЛИ
На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.
Заметим, что 
поэтому второй ход даст
Итак, за два хода числа удваиваются.
а) Если сделать 4 хода, 100 удвоится дважды и получится 400.
б) Заметим, что 
Дальше все пары будут либо вида 
либо вида 
Поскольку 806 кратно 31, а ни одно из чисел в этих парах не кратно 31, получить его нельзя.
в) Если пара (a, b) дала пару (806, 788), то 
и 
откуда 
и 
поскольку за два хода числа в паре удваиваются, осталось построить предыдущие пары делением на 2. Пара (797, 9) вообще не получается удвоением, а пара (806, 788) получается удвоением пары (403, 394), которую уже нельзя поделить на 2.
Значит все такие пары это (797, 9) и (403, 394). Наименьшее a именно в ней.
Ответ: а) да; б) нет; в) 403.
ИЛИ
a) Рассмотрим пять чисел: a, b, c, d и e, записанных на доске. Средние арифметические 
и 
должны быть целыми числами. Следовательно, числа 
и 
должны делиться на 4, а значит, их разность 
также должна делиться на 4. Таким образом, разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 4. Аналогично можно показать, что разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 5, а значит, разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 20. Разность чисел 2013 и 403 равна 1610 и не делится на 20. Следовательно, числа 403 и 2013 одновременно не могут быть среди записанных чисел.
б) Остаток от деления числа 403 на 20 равен 3. Значит, остаток от деления любого записанного на доске числа на 20 равен 3, то есть любое число, записанное на доске, можно представить в виде 
где k — натуральное число или 0. Остаток от деления такого числа на 4 равен 3. С другой стороны, остаток от деления любого квадрата натурального числа на 4 равен 0 или 1. Значит, среди чисел, записанных на доске, не может быть квадратов натуральных чисел.
в) Числа 1 и 
должны давать одинаковые остатки при делении на 20, то есть число 
должно делиться на 20. Поскольку 
одно из чисел 
и 
должно делиться на 5. Таким образом, перебирая числа, для которых это выполнено, то есть числа 4, 6, 9, 11, 14, 16, ..., получаем, что наименьшее значение n, для которого делится на 20, равно 9. Примером чисел, удовлетворяющих условию задачи, для которых 
служит набор чисел: 1, 21, 41, 61, 81, 101, 121, 141, 161, 181, содержащий число 81.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.