PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет единственное решение.
Решение. ОДЗ уравнения
Рассмотрим функцию 
она возрастающая (как сумма двух возрастающих функций), ее наименьшее значение 
Обозначим 
тогда уравнение записывается в виде 
На ОДЗ при 
справедливо неравенство 
а значит, уравнение не имеет решений.
При 
левая часть уравнения 
возрастает, а правая постоянна, значит, уравнение имеет не более одного корня. Проверка показывает, что 
является корнем уравнения.
Пусть 
Функция f выпукла вверх (как сумма двух выпуклых вверх функций), поэтому ее график лежит не выше касательной и имеет с секущей прямой не более двух общих точек. Следовательно, при 
уравнение имеет не более двух корней. Поскольку 
один корень может быть только в случае, когда прямая касается кривой.
Рассмотрим два вектора 
и 
Отметим, что 
и тогда
Равенство достигается, только если вектор 
сонаправлен с вектором 
то есть при
Итак, 
при 
и 
при прочих х. Тем самым прямая 
соответствующая значению параметра 
является касательной к графику функции f.
При 
получаем, что 
значит, уравнение не имеет корней. При при 
уравнение имеет два корня.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень при 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |