PDF-версии: 
Окружность проходит через вершины C и D ромба ABCD и касается стороны AB, а также пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно, причем BN : CN = 4 : 5.
а) Докажите, что AM : MD = 1 : 8.
б) Найдите CM, если сторона ромба равна 9.
Решение. а) Пусть окружность касается стороны AB в точке P. Пусть также
Квадрат длины касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длины секущей, проведенной из этой же точки, и длины ее внешней части:
Следовательно, 
Применим ту же теорему для касательной AP и секущей AD:
Отсюда получаем, что 
и 
б) Пусть точка O — центр окружности, точка H — точка пересечения прямой PO и стороны CD. Отрезок PH диаметра окружности перпендикулярен хорде CD, поэтому 
Из условия 
Косинус угла при вершине D найдем из прямоугольного треугольника DAH1:
По теореме косинусов в треугольнике CDM получаем:
откуда 
Ответ: б) 11.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |