Окружность проходит через вершины C и D ромба ABCD и касается стороны AB, а также пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно, причем BN : CN = 4 : 5.
а) Докажите, что AM : MD = 1 : 8.
б) Найдите CM, если сторона ромба равна 9.
а) Пусть окружность касается стороны AB в точке P. Пусть также 
Квадрат длины касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длины секущей, проведенной из этой же точки, и длины ее внешней части:
Следовательно, 
Применим ту же теорему для касательной AP и секущей AD:
Отсюда получаем, что 
и 
б) Пусть точка O — центр окружности, точка H — точка пересечения прямой PO и стороны CD. Отрезок PH диаметра окружности перпендикулярен хорде CD, поэтому 
Из условия 
Косинус угла при вершине D найдем из прямоугольного треугольника DAH1:
По теореме косинусов в треугольнике CDM получаем:
откуда 
Ответ: б) 11.