Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что при раз­ре­за­нии торта ко­ли­че­ство тор­тов уве­ли­чи­ва­ет­ся на 3. По­это­му после k раз­ре­за­ний по­лу­чит­ся тор­тов, что де­лит­ся на 3. Зна­чит, 80 по­лу­чить нель­зя. А 81 можно  — сна­ча­ла сде­ла­ем сред­них тор­тов, а потом 7 из них раз­ре­жем на ма­лень­кие.

б)  При раз­ре­за­нии боль­шо­го торта общая сто­и­мость всех тор­тов уве­ли­чи­ва­ет­ся на руб­лей, а раз­ре­за­нии сред­не­го торта общая сто­и­мость всех тор­тов уве­ли­чи­ва­ет­ся на руб­лей, по­это­му пока есть воз­мож­ность ре­зать боль­шие торты, нужно так и де­лать. Если боль­ших было k, то сред­них ста­нет 4k и нужно будет раз­ре­зать еще k из них для по­лу­че­ния 7k тор­тов. Это и есть оп­ти­маль­ная схема.

в)  За­ме­тим, что ма­лень­кие торты по­яв­ля­ют­ся толь­ко по 4, зна­чит, их ко­ли­че­ство крат­но 4. Пусть есть 4k ма­лень­ких тор­тов и 4k сред­них, тогда из них по­лу­чи­лось бы ма­лень­ких тор­тов после пол­но­го раз­ре­за­ния. С дру­гой сто­ро­ны, их ко­ли­че­ство долж­но де­лить­ся на 16 (из од­но­го боль­шо­го торта по­лу­ча­ет­ся по 16 ма­лень­ких), зна­чит, 20k крат­но 16, и по­то­му k крат­но 4. Зна­чит, ма­лень­ких тор­тов ми­ни­мум как и осталь­ных.

Для такой си­ту­а­ции нужно раз­ре­зать один боль­шой торт на ма­лень­кие и че­ты­ре боль­ших торта на сред­ние, а еще 16 не ре­зать вовсе, что дает боль­шой торт.

Ответ: а)  80 нель­зя, 81 можно; в)  21.