а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точки М и K  — се­ре­ди­ны сто­рон SB и DC со­от­вет­ствен­но. Через центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды па­рал­лель­но пря­мым АМ и SK про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что α делит ребро BC в от­но­ше­нии 1 : 5, счи­тая от точки C.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α, а вер­ши­ной  — точка A, если в пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния равна  вы­со­та равна 12,

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Из­вест­но, что вклад, на­хо­дя­щий­ся в банке с на­ча­ла года, воз­рас­та­ет к концу года на опре­де­лен­ный про­цент (свой для каж­до­го банка). В на­ча­ле года  не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства денег по­ло­жи­ли в пер­вый банк, а остав­шу­ю­ся часть  — во вто­рой банк. К концу года сумма этих вкла­дов стала рав­ной 590 де­неж­ным еди­ни­цам, к концу сле­ду­ю­ще­го года  — 701 де­неж­ным еди­ни­цам. Было под­счи­та­но, что если бы пер­во­на­чаль­но  ис­ход­но­го ко­ли­че­ства денег по­ло­жи­ли во вто­рой банк, а остав­шу­ю­ся часть в пер­вый банк, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вкла­дов стала бы рав­ной 610 де­неж­ным еди­ни­цам. Ка­ко­ва в этом слу­чае была бы сумма вкла­дов в эти банки к концу вто­ро­го года?

Окруж­ность с цен­тром в точке О впи­са­на в тре­уголь­ник АВС, пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок АО в точке М и ка­са­ет­ся сто­ро­ны АВ в точке N. Пря­мые NM и BO па­рал­лель­ны.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Пря­мая ВО пе­ре­се­ка­ет впи­сан­ную окруж­ность в точке L Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка BNML к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АВС, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

где имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Кон­ди­тер­ский ма­га­зин тор­гу­ет тор­та­ми трех раз­ме­ров: боль­шой торт, сред­ний торт и ма­лень­кий торт (пи­рож­ное). Сред­ний торт по­лу­ча­ет­ся из боль­шо­го торта раз­ре­за­ни­ем на 4 части, пи­рож­ное тоже по­лу­ча­ет­ся из сред­не­го торта раз­ре­за­ни­ем на 4 части.

а)  Ис­пек­ли 15 боль­ших тор­тов. Не­ко­то­рые из них раз­ре­за­ли и по­лу­чи­ли сред­ние торты. Не­сколь­ко сред­них тор­тов раз­ре­за­ли и по­лу­чи­ли пи­рож­ные. Может ли всего по­лу­чить­ся 80 тор­тов раз­ных раз­ме­ров? А 81 торт?

б)  Боль­шой торт стоит 100 руб­лей, сред­ний торт стоит 30 руб­лей, пи­рож­ное стоит 10 руб­лей. Ис­пек­ли не­сколь­ко боль­ших тор­тов. Как их раз­ре­зать, чтобы всех тор­тов раз­ных раз­ме­ров стало ровно в 7 раз боль­ше, а их общая сто­и­мость была мак­си­маль­ной?

в)  После раз­ре­за­ния ис­пе­чен­ных тор­тов ока­за­лось, что по­лу­чи­лось оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство тор­тов всех трех типов. Какое наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство боль­ших тор­тов ис­пек­ли?