Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 691001
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 2x плюс 3 синус 2x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x конец дроби = 4 ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Най­дем ОДЗ:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x не равно q 0, ко­си­нус x не равно q 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x не равно q 0, x не равно q дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка не равно q 0, x не равно q дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби не равно q дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи m, x не равно q дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x не равно q дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи m, x не равно q дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, конец си­сте­мы . m, n при­над­ле­жит Z .

Упро­стим левую часть урав­не­ния:

3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 2x плюс синус 2x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x конец дроби = 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 синус x ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x конец дроби =
= 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x конец дроби = 6 ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x конец дроби .

Тогда ис­ход­ное урав­не­ние на ОДЗ рав­но­силь­но сле­ду­ю­щим:

6 ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x конец дроби = 4 ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 2 ко­си­нус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x конец дроби .

За­ме­тим, что

2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 1 = 2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 = 3 минус 2 синус в квад­ра­те x

и на ОДЗ из­ба­вим­ся от зна­ме­на­те­лей:

дробь: чис­ли­тель: 3 минус 2 синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x конец дроби \underset ОДЗ \mathop рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 3 ко­рень из 3 ко­си­нус x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс 3 синус x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус в квад­ра­те x ко­си­нус x минус 2 синус в кубе x = 3 ко­рень из 3 ко­си­нус x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 3 синус x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус в квад­ра­те x ко­си­нус x минус 2 синус в кубе x = 0 рав­но­силь­но минус синус x левая круг­лая скоб­ка 2 синус в квад­ра­те x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x ко­си­нус x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0.

Воз­мож­ны два слу­чае: либо синус x = 0, от­ку­да x = Пи k, где k при­над­ле­жит Z , либо

2 синус в квад­ра­те x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x ко­си­нус x минус 3 = 0 рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x ко­си­нус x минус 3 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но синус в квад­ра­те x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x ко­си­нус x плюс 3 ко­си­нус в квад­ра­те x = 0 рав­но­силь­но тан­генс в квад­ра­те x минус 2 ко­рень из 3 тан­генс x плюс 3 = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка тан­генс x минус ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 0 рав­но­силь­но тан­генс x = ко­рень из 3 рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 3 плюс Пи m, m при­над­ле­жит Z .

Обе най­ден­ные серии ре­ше­ний при­над­ле­жат ОДЗ.

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа 2 Пи , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , 3 Пи , дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  2 Пи , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , 3 Пи , дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025