PDF-версии: 
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
График этого уравнения — ромб. Его получают отражением лежащей в первой четверти отрезка прямой 
относительно оси Oy, а затем отражением построенных отрезков относительно оси Ox. Вершины этого ромба — точки 
Преобразуем второе уравнение системы:
Это уравнение задает на плоскости семейство окружностей радиуса 1, центры которых находятся в точке 
Изобразим полученные графики на рисунке.
Из графика видно, что окружность при «спуске» по оси Oy не имеет общих точек с ромбом, пока не пройдет через его вершину B. В этом случае:
При 
окружность имеет одну общую точку с ромбом — этот случай обозначен фиолетовым, а при 
—
окружность и ромб имеют две точки пересечения.
Кроме того, две точки пересечения окружность и ромб имеют, если стороны ромба являются касательными к ней — этот случай обозначен красным. Рассмотрим, например, сторону BC. Ее уравнение 
точка касания находится от центра окружности 
на расстоянии, равном радиусу, то есть 1. По формуле расстояния между точкой и прямой получаем:
Ромб обладает центральной симметрией, точка пересечения его диагоналей совпадает с началом координат, поэтому остальные значения параметра, удовлетворяющие задаче, можно получить изменением знака уже полученных на противоположные.
Таким образом, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |