РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1 плюс 1 плюс 111 плюс 11 плюс 11 плюс 1 = 136.$

a)  Можно ли получить сумму 131, если n  =  50?

б)  Можно ли получить сумму 131, если n  =  70?

в)  Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n  =  131?

Решение. a)  Пусть плюсы расставлены так, что суммируется девять чисел 11 и 32 единицы. Тогда сумма равна $9 умножить на 11 плюс 32 умножить на 1 = 131.$

б)  Пусть в полученной сумме в разряде единиц в слагаемых стоит a₁ единиц, в разряде десятков  — a₂ единиц, в разряде сотен  — a₃ единиц и так далее. Тогда полученная сумма равна

$a_1 плюс 10 a_2 плюс 100 a_3 плюс \ldots = 3 левая круглая скобка 3a_2 плюс 33a_3 плюс \ldots правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс \ldots правая круглая скобка = 3A плюс 70.$

Таким образом, полученная сумма даёт остаток 1 при делении на 3, а 131 даёт остаток 2. Значит, невозможно получить сумму 131 при $n=70.$

в)  Если среди слагаемых в сумме присутствуют числа, бо́льшие 111, то сумма будет больше 1000. Также если среди слагаемых присутствуют два числа 111, то сумма будет не меньше 222. Если в сумме присутствует слагаемое 111, то с точностью до перестановки слагаемых число 131 можно получить двумя способами: $131 = 111 плюс 11 плюс 9 умножить на 1$ и $131 = 111 плюс 20 умножить на 1.$ В этих случаях $n = 14$ и $n = 23$ соответственно. Таким образом, если в сумме нет слагаемого 111, то каждое из слагаемых равно 1 или 11. Пусть было a слагаемых 1 и b слагаемых 11, тогда $131 = 11 b плюс a.$ Число b может принимать целые значения от 0 до 11. При этом $a = 131 минус 11 b,$ а $n = 2 b плюс a = 131 минус 9 b.$ Таким образом, в этом случае число n может принимать значения 32, 41, 50, ..., 131. Получаем, что сумму 131 можно получить для четырнадцати значений n: 14, 23, 32, ..., 131.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  14 .

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	694843	а)  да; б)  нет; в)  14 .

Ключ