На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 
a) Можно ли получить сумму 131, если n = 50?
б) Можно ли получить сумму 131, если n = 70?
в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n = 131?
a) Пусть плюсы расставлены так, что суммируется девять чисел 11 и 32 единицы. Тогда сумма равна 
б) Пусть в полученной сумме в разряде единиц в слагаемых стоит a1 единиц, в разряде десятков — a2 единиц, в разряде сотен — a3 единиц и так далее. Тогда полученная сумма равна
Таким образом, полученная сумма даёт остаток 1 при делении на 3, а 131 даёт остаток 2. Значит, невозможно получить сумму 131 при 
в) Если среди слагаемых в сумме присутствуют числа, бо́льшие 111, то сумма будет больше 1000. Также если среди слагаемых присутствуют два числа 111, то сумма будет не меньше 222. Если в сумме присутствует слагаемое 111, то с точностью до перестановки слагаемых число 131 можно получить двумя способами: 
и 
В этих случаях 
и 
соответственно. Таким образом, если в сумме нет слагаемого 111, то каждое из слагаемых равно 1 или 11. Пусть было a слагаемых 1 и b слагаемых 11, тогда 
Число b может принимать целые значения от 0 до 11. При этом 
а 
Таким образом, в этом случае число n может принимать значения 32, 41, 50, ..., 131. Получаем, что сумму 131 можно получить для четырнадцати значений n: 14, 23, 32, ..., 131.
Ответ: а) да; б) нет; в) 14 .