a)  Пусть плюсы рас­став­ле­ны так, что сум­ми­ру­ет­ся семь чисел 11 и 45 еди­ниц. Тогда сумма равна

б)  Пусть в по­лу­чен­ной сумме в раз­ря­де еди­ниц в сла­га­е­мых стоит a₁ еди­ниц, в раз­ря­де де­сят­ков  — a₂ еди­ниц, в раз­ря­де сотен  — a₃ еди­ниц и так далее. Тогда по­лу­чен­ная сумма равна

Таким об­ра­зом, по­лу­чен­ная сумма не де­лит­ся на 3, а 123 де­лит­ся на 3. Зна­чит, не­воз­мож­но по­лу­чить сумму 123 при n  =  59.

в)  Если среди сла­га­е­мых в сумме при­сут­ству­ют числа, бо́льшие 1111, то сумма будет боль­ше 10000. Зна­чит, каж­дое из сла­га­е­мых равно 1, 11, 111 или 1111. Пусть таких сла­га­е­мых a, b, c и d со­от­вет­ствен­но. Тогда а сумма равна

При сумма боль­ше 10000. Найдём наи­боль­шую воз­мож­ную сумму при За­ме­тим, что при за­ме­не четвёрки чисел на четвёрку или ко­ли­че­ство еди­ниц оста­нет­ся не­из­мен­ным, а сумма уве­ли­чит­ся. Зна­чит, если бы наи­боль­шая сумма до­сти­га­лась при то вы­пол­ня­лись бы не­ра­вен­ства Сле­до­ва­тель­но, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шая сумма до­сти­га­ет­ся при d  =  8. При этом и По­сколь­ку

по­лу­ча­ем то есть либо c  =  8, от­ку­да и либо c  =  9, от­ку­да и В пер­вом слу­чае а во вто­ром Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шая сумма до­сти­га­ет­ся при c  =  9 и d  =  8 и равна

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9887.

a)  Пусть плюсы рас­став­ле­ны так, что сум­ми­ру­ет­ся шесть чисел 11 и 44 еди­ни­цы. Тогда сумма равна

б)  Пусть в по­лу­чен­ной сумме в раз­ря­де еди­ниц в сла­га­е­мых стоит a₁ еди­ниц, в раз­ря­де де­сят­ков  — a₂ еди­ниц, в раз­ря­де сотен  — a₃ еди­ниц и так далее. Тогда по­лу­чен­ная сумма равна

Таким об­ра­зом, по­лу­чен­ная сумма не де­лит­ся на 3, а 111 де­лит­ся на 3. Зна­чит, не­воз­мож­но по­лу­чить сумму 111 при n  =  56.

в)  Если среди сла­га­е­мых в сумме при­сут­ству­ют числа, бо́льшие 1111, то сумма будет боль­ше 10000. Зна­чит, каж­дое из сла­га­е­мых равно 1, 11, 111 или 1111. Пусть таких сла­га­е­мых a, b, c и d со­от­вет­ствен­но. Тогда а сумма равна

При сумма боль­ше 10000. Найдём наи­боль­шую воз­мож­ную сумму при За­ме­тим, что при за­ме­не четвёрки чисел на четвёрку или ко­ли­че­ство еди­ниц оста­нет­ся не­из­мен­ным, а сумма уве­ли­чит­ся. Зна­чит, если бы наи­боль­шая сумма до­сти­га­лась при то вы­пол­ня­лись бы не­ра­вен­ства Сле­до­ва­тель­но, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шая сумма до­сти­га­ет­ся при d  =  8. При этом и По­сколь­ку

по­лу­ча­ем то есть либо c  =  7, от­ку­да и a  =  b  =  1; либо c  =  8, от­ку­да и a  =  b  =  0. В пер­вом слу­чае а во вто­ром Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шая сумма до­сти­га­ет­ся при a  =  b  =  0, c  =  8 и d  =  8 и равна

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9776.