На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 
a) Можно ли получить сумму 122, если n = 59?
б) Можно ли получить сумму 123, если n = 59?
в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n = 59?
a) Пусть плюсы расставлены так, что суммируется семь чисел 11 и 45 единиц. Тогда сумма равна 
б) Пусть в полученной сумме в разряде единиц в слагаемых стоит a1 единиц, в разряде десятков — a2 единиц, в разряде сотен — a3 единиц и так далее. Тогда полученная сумма равна
Таким образом, полученная сумма не делится на 3, а 123 делится на 3. Значит, невозможно получить сумму 123 при n = 59.
в) Если среди слагаемых в сумме присутствуют числа, бо́льшие 1111, то сумма будет больше 10000. Значит, каждое из слагаемых равно 1, 11, 111 или 1111. Пусть таких слагаемых a, b, c и d соответственно. Тогда 
а сумма равна 
При 
сумма больше 10000. Найдём наибольшую возможную сумму при 
Заметим, что при замене четвёрки чисел 
на четвёрку 
или 
количество единиц останется неизменным, а сумма увеличится. Значит, если бы наибольшая сумма достигалась при 
то выполнялись бы неравенства 
Следовательно, 
что противоречит условию.
Таким образом, наибольшая сумма достигается при d = 8. При этом 
и 
Поскольку
получаем 
то есть либо c = 8, откуда 
и 
либо c = 9, откуда 
и 
В первом случае 
а во втором 
Следовательно, наибольшая сумма достигается при 
c = 9 и d = 8 и равна 
Ответ: а) да; б) нет; в) 9887.