РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Аристарх написал на заборе квадратный трёхчлен вида $x в квадрате плюс 10x плюс 20.$ После этого каждый проходящий мимо человек по очереди делал следующее: увеличивал или уменьшал на 1 либо коэффициент при x, либо свободный член (но не оба сразу). Рассматриваются все возможные последовательности таких изменений, приводящие от начального к конечному трёхчлену.

а)  Существует ли такая последовательность получившихся многочленов, в которой ни разу не появился многочлен с целыми корнями, если в итоге на заборе оказался трёхчлен $x в квадрате плюс 12x плюс 18?$

б)  Существует ли такая последовательность получившихся многочленов, в которой ни разу не появился многочлен с целыми корнями, если в итоге на заборе оказался трёхчлен $x в квадрате плюс 20x плюс 10?$

в)  Многочлен $x в квадрате плюс 15x плюс 5$ был получен за минимальное количество шагов. Какое наибольшее количество многочленов с целыми корнями можно при этом получить?

Решение. а)  Да. В последовательности $x в квадрате плюс 10x плюс 19,$ $x в квадрате плюс 11x плюс 19,$ $x в квадрате плюс 12x плюс 19,$ $x в квадрате плюс 12x плюс 18$ ни один трехчлен не имеет целых корней.

б)  Нет. Заметим, что при каждой операции значение трехчлена при $x = минус 1$ менялось ровно на 1, при этом изначально оно было $1 минус 10 плюс 20 = 11 больше 0,$ а в конце стало $1 минус 20 плюс 10 = минус 9 меньше 0.$ Значит, в какой-то момент оно было равно нулю. В этот момент многочлен имел корень −1 и по теореме Виета второй его корень также был целым (свободный член, взятый с противоположным знаком).

в)  Чтобы сделать наименьшее число операций, нужно только увеличивать коэффициент при x и только уменьшать свободный член. Тогда потребуется 20 операций. Значит, коэффициент при x (обозначим его b) будет принимать значения 10, 11, 12, 13, 14, 15, а свободный член (обозначим его c)  — от 20 до 5. Выпишем возможные пары (b; c), дающие точные квадраты: (10; 16), (10; 9), (11; 10), (11; 18), (12; 11), (12; 20), (13; 12), (14; 13), (15; 14).

Кроме того, из пар (10; 9), (11; 10), (12; 11), (13; 12), (14; 13), (15; 14), может реализоваться только один, поскольку у каждой пары разность коэффициентов равна 1, а при указанных действиях разность всегда растет (уменьшаемое растет, вычитаемое уменьшается). Аналогичное утверждение верно и для пар (10; 16), (11; 18), (12; 20). Следовательно, можно сделать не более двух таких трехчленов.

Два трехчлена получить можно, например,

$x в квадрате плюс 10x плюс 20 \mapsto x в квадрате плюс 11x плюс 20\mapsto x в квадрате плюс 12x плюс$
$плюс 20\mapsto x в квадрате плюс 12x плюс 19\mapsto \ldots \mapsto x в квадрате плюс 12x плюс 11\mapsto \ldots$

Ясно, что дойти до нужного трехчлена дальше можно.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  2.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	694992	а)  да; б)  нет; в)  2.

Ключ