а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ через вер­ши­ну A₁ и се­ре­ди­ны сто­рон BC и CD про­хо­дит плос­кость α. От­но­ше­ние вы­со­ты приз­мы к сто­ро­не ос­но­ва­ния равно 

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой FC₁.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость α делит объем приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на пять лет в раз­ме­ре 630 тысяч руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся рав­ным 630 тысяч руб­лей;

—  вы­пла­ты в 2030 и 2031 годах равны;

—  к июлю 2031 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те r, если общая сумма пла­те­жей со­ста­вит 915 тысяч руб­лей.

В тре­уголь­ни­ке АВС бис­сек­три­са AD пе­ре­се­ка­ет вы­со­ту ВН в точке О. Пря­мая СО пер­пен­ди­ку­ляр­на AD и пе­ре­се­ка­ет АВ в точке N, при­чем NB  =  NO.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ВС, если ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС равен 

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно семь ре­ше­ний.

Ари­старх на­пи­сал на за­бо­ре квад­рат­ный трёхчлен вида После этого каж­дый про­хо­дя­щий мимо че­ло­век по оче­ре­ди делал сле­ду­ю­щее: уве­ли­чи­вал или умень­шал на 1 либо ко­эф­фи­ци­ент при x, либо сво­бод­ный член (но не оба сразу). Рас­смат­ри­ва­ют­ся все воз­мож­ные по­сле­до­ва­тель­но­сти таких из­ме­не­ний, при­во­дя­щие от на­чаль­но­го к ко­неч­но­му трёхчле­ну.

а)  Су­ще­ству­ет ли такая по­сле­до­ва­тель­ность по­лу­чив­ших­ся мно­го­чле­нов, в ко­то­рой ни разу не по­явил­ся мно­го­член с це­лы­ми кор­ня­ми, если в итоге на за­бо­ре ока­зал­ся трёхчлен

б)  Су­ще­ству­ет ли такая по­сле­до­ва­тель­ность по­лу­чив­ших­ся мно­го­чле­нов, в ко­то­рой ни разу не по­явил­ся мно­го­член с це­лы­ми кор­ня­ми, если в итоге на за­бо­ре ока­зал­ся трёхчлен

в)  Мно­го­член был по­лу­чен за ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство шагов. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство мно­го­чле­нов с це­лы­ми кор­ня­ми можно при этом по­лу­чить?