ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 694991 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка y плюс ax минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс ax правая круглая скобка конец аргумента = 0, |x| плюс |y| = 2 конец системы .$

имеет ровно семь решений.

Спрятать решение

Решение.

Исходная система равносильна совокупности систем:

$совокупность выражений система выражений левая круглая скобка y плюс ax минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс ax правая круглая скобка =0, |x| плюс |y| = 2 конец системы . левая круглая скобка * правая круглая скобка система выражений x в квадрате плюс y в квадрате минус 2=0, |x| плюс |y| = 2, левая круглая скобка y плюс ax минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс ax правая круглая скобка больше 0 конец системы . левая круглая скобка ** правая круглая скобка конец совокупности .$

Рассмотрим систему (⁎). Уравнение $левая круглая скобка y плюс ax минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс ax правая круглая скобка =0$ системе координат xOy задает пару параллельных прямых $y= минус ax$ и $y= минус ax плюс 1,$ первая из которых проходит через точку $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка ,$ а вторая  — через точку $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка .$ Графиком уравнения $|x| плюс |y| = 2$ является квадрат с вершинами в точках $левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0; минус 2 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2; 0 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка .$ Значит, система (⁎) при любом значении параметра даёт четыре различных решения.

Рассмотрим систему (⁎⁎). Окружность $x в квадрате плюс y в квадрате = 2$ вписана в квадрат $|x| плюс |y| = 2.$ Значит, все решения системы содержатся среди пар чисел $левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка .$

Рис. 1

Рис. 2

Заметим, что системы (⁎) и (⁎⁎) не могут иметь общих решений. Тогда для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы ровно три из точек $левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка$ являлись решениями системы (⁎⁎), то есть удовлетворяли неравенству $левая круглая скобка y плюс ax минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс ax правая круглая скобка больше 0.$ Выясним, при каких значениях параметра a каждая из указанных точек является решением системы (⁎⁎).

Точка $левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка$ является решением системы (⁎⁎) при

$левая круглая скобка 1 плюс a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка больше 0 равносильно a левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка больше 0;$

точка $левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка$ при

$левая круглая скобка минус 1 плюс a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 1 плюс a правая круглая скобка больше 0 равносильно левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка больше 0;$

точка $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка$ при

$левая круглая скобка 1 минус a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка больше 0 равносильно a левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка больше 0;$

точка $левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка$ при

$левая круглая скобка минус 1 минус a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 1 минус a правая круглая скобка больше 0 равносильно левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка больше 0.$

Таким образом, исходная система имеет ровно семь решений при $минус 2 меньше или равно a меньше минус 1,$ $минус 1 меньше a меньше 0,$ $0 меньше a меньше 1$ и $1 меньше a меньше или равно 2.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 526

Классификатор алгебры: Системы с параметром, Комбинация прямых

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь