PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно семь решений.
Решение. Исходная система равносильна совокупности систем:
Рассмотрим систему (⁎). Уравнение 
системе координат xOy задает пару параллельных прямых 
и 
первая из которых проходит через точку 
а вторая — через точку 
Графиком уравнения 
является квадрат с вершинами в точках 
и 
Значит, система (⁎) при любом значении параметра даёт четыре различных решения.
Рассмотрим систему (⁎⁎). Окружность 
вписана в квадрат 
Значит, все решения системы содержатся среди пар чисел 
Заметим, что системы (⁎) и (⁎⁎) не могут иметь общих решений. Тогда для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы ровно три из точек 
являлись решениями системы (⁎⁎), то есть удовлетворяли неравенству 
Выясним, при каких значениях параметра a каждая из указанных точек является решением системы (⁎⁎).
Точка 
является решением системы (⁎⁎) при
точка 
при
точка 
при
точка при
Таким образом, исходная система имеет ровно семь решений при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |