РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC (AB  =  AC), касается боковой стороны AB в точке P, а основания BC  — в точке M. Вторая окружность (вневписанная), касающаяся основания BC и продолжений боковых сторон, касается прямой AB в точке Q.

а)  Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника PMQ, совпадает с вершиной B.

б)  Найдите стороны треугольника ABC, если известно, что PQ  =  12, а расстояние между центрами первой и второй окружностей равно 15.

Решение. а)  В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с биссектрисой и медианой, поэтому точка M одновременно является серединой стороны BC и точкой касания вневписанной окружности с этой стороной. Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, следовательно, $BP = BM$ для вписанной окружности и $BM = BQ$ для вневписанной. Таким образом, $BP = BM = BQ,$ то есть точка B равноудалена от вершин треугольника PMQ, а потому является центром описанной около него окружности.

б)  Пусть точки O₁ и O₂  — центры вписанной и вневписанной окружностей соответственно. Пусть $PO_1 = r,$ тогда $QO_2 = 15 минус r.$ Проведем из точки O₁ прямую, параллельную прямой PQ, тогда четырехугольник PO₁HQ  — прямоугольник по определению. По теореме Пифагора для треугольника HO₁O₂ получаем:

$O_1H в квадрате плюс HO_2 в квадрате = O_1O_2 в квадрате равносильно PQ в квадрате плюс левая круглая скобка QO_2 минус PO_1 правая круглая скобка в квадрате = 15 в квадрате равносильно 12 в квадрате плюс левая круглая скобка 15 минус 2r правая круглая скобка в квадрате = 15 в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 15 минус 2r правая круглая скобка в квадрате = 81 равносильно 15 минус 2r = 9 равносильно 2r = 6 равносильно r = 3.$ $O_1H в квадрате плюс HO_2 в квадрате = O_1O_2 в квадрате равносильно PQ в квадрате плюс левая круглая скобка QO_2 минус PO_1 правая круглая скобка в квадрате = 15 в квадрате равносильно$
$равносильно 12 в квадрате плюс левая круглая скобка 15 минус 2r правая круглая скобка в квадрате = 15 в квадрате равносильно левая круглая скобка 15 минус 2r правая круглая скобка в квадрате = 81 равносильно$
$равносильно 15 минус 2r = 9 равносильно 2r = 6 равносильно r = 3.$ $O_1H в квадрате плюс HO_2 в квадрате = O_1O_2 в квадрате равносильно$
$равносильно PQ в квадрате плюс левая круглая скобка QO_2 минус PO_1 правая круглая скобка в квадрате = 15 в квадрате равносильно$
$равносильно 12 в квадрате плюс левая круглая скобка 15 минус 2r правая круглая скобка в квадрате = 15 в квадрате равносильно левая круглая скобка 15 минус 2r правая круглая скобка в квадрате = 81 равносильно$
$равносильно 15 минус 2r = 9 равносильно 2r = 6 равносильно r = 3.$

Суммы длин противоположных сторон четырехугольника QBMO₂ равны, поэтому около него можно описать окружность, то есть $\angle AO_2Q = 180 градусов минус \angle QBC.$ Сумма смежных углов равна 180°, поэтому $\angle ABC = 180 градусов минус \angle QBC.$ Следовательно,

$косинус \angle ABC = косинус \angle AO_2Q = дробь: числитель: O_2H, знаменатель: O_1O_2 конец дроби = дробь: числитель: 15 минус 2r, знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$

откуда

$дробь: числитель: BM, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби равносильно AB = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби BM равносильно AB = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: PQ, знаменатель: 2 конец дроби равносильно AB = 10.$

Таким образом, $AB = AC = 10,$ $BC = 2BM = PQ = 12.$

Ответ: б)  10, 10, 12.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	697401	б)  10, 10, 12.

Ключ