Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC (AB = AC), касается боковой стороны AB в точке P, а основания BC — в точке M. Вторая окружность (вневписанная), касающаяся основания BC и продолжений боковых сторон, касается прямой AB в точке Q.
а) Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника PMQ, совпадает с вершиной B.
б) Найдите стороны треугольника ABC, если известно, что PQ = 12, а расстояние между центрами первой и второй окружностей равно 15.
а) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с биссектрисой и медианой, поэтому точка M одновременно является серединой стороны BC и точкой касания вневписанной окружности с этой стороной. Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, следовательно, 
для вписанной окружности 
то есть точка B равноудалена от вершин треугольника PMQ, а потому является центром описанной около него окружности.
б) Пусть точки O1 и O2 — центры вписанной и вневписанной окружностей соответственно. Пусть 
тогда 
Проведем из точки O1 прямую, параллельную прямой PQ, тогда четырехугольник PO1HQ — прямоугольник по определению. По теореме Пифагора для треугольника HO1O2 получаем:
Суммы длин противоположных сторон четырехугольника QBMO2 равны, поэтому около него можно описать окружность, то есть 
Сумма смежных углов равна 180°, поэтому 
Следовательно,
откуда
Таким образом, 
Ответ: