РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 700709 Добавить в вариант

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $5 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус 1 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 7x плюс 10 правая круглая скобка в квадрате .$

Решение. Найдем ОДЗ:

$система выражений x минус 2 больше 0, x минус 2 не равно q 1, 5 минус x больше 0, x в квадрате минус 7x плюс 10 не равно q 0 конец системы . равносильно система выражений 2 меньше x меньше 5, x не равно q 3, x не равно q 2, x не равно q 5 конец системы . равносильно совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше 5. конец совокупности .$

Пусть $t = логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка .$ Преобразуем выражение в правой части:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \log в квадрате _x минус 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 7x плюс 10 правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \log в квадрате _x минус 2 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 2 плюс 2t правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка в квадрате .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \log в квадрате _x минус 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 7x плюс 10 правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \log в квадрате _x минус 2 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка в квадрате =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 2 плюс 2t правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка в квадрате .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \log в квадрате _x минус 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 7x плюс 10 правая круглая скобка в квадрате =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \log в квадрате _x минус 2 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка в квадрате =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 2 плюс 2t правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка в квадрате .$

Следовательно,

$5t минус 1 меньше или равно левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка в квадрате равносильно 5t минус 1 меньше или равно 1 плюс 2t плюс t в квадрате равносильно t в квадрате минус 3t плюс 2 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 1, t больше или равно 2. конец совокупности .$ $5t минус 1 меньше или равно левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка в квадрате равносильно 5t минус 1 меньше или равно 1 плюс 2t плюс t в квадрате равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 3t плюс 2 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 1, t больше или равно 2. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной. Применим метод рационализации: на ОДЗ знак выражения $логарифм по основанию x y минус логарифм по основанию x z$ совпадает со знаком выражения $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус z правая круглая скобка .$ Получим:

$совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка больше или равно 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x минус x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше 5 конец совокупности . конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше 5 конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше 5 конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 5. конец совокупности .$ $совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка больше или равно 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x минус x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше 5 конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше 5 конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше 5 конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 5. конец совокупности .$ $совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка больше или равно 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x минус x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше 5 конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше 5 конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше 5 конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 5. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби ; 5 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

700709

$левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби ; 5 правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	700709	$левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби ; 5 правая круглая скобка .$