В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно.
а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны.
б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB = 12, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 30°.
ИЛИ
В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 4.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5 : 4.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью CMK.
Решение. 
а) В правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ AD параллельна стороне BC. Отрезок MK — средняя линия треугольника ASD, параллельная стороне AD. Следовательно, прямые BC и MK параллельны.
б) Пусть точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, а точка H — точка пересечения диагоналей параллелограмма BAFO, тогда точка H — середина диагонали AO. Следовательно, отрезок MH — средняя линия треугольника SOA, параллельная стороне SO, то есть отрезок MH — высота пирамиды MABF. Центр O описанной около треугольника BFC окружности лежит на его стороне FC, поэтому 
Таким образом, прямая BC перпендикулярна прямым MH и BF соответственно, а потому прямая BC перпендикулярна плоскости BMF. Плоскость основания пирамиды SABCDEF пересекается с плоскостью BMC по прямой BC, поэтому 
Следовательно,
Площадь треугольника ABF равна
Таким образом, объём пирамиды MABF равен
Ответ: б) 
ИЛИ
а) Плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на четырёхугольную пирамиду CBMKD с вершиной C и треугольную пирамиду CMAK с той же вершиной. Основания этих пирамид лежат в плоскости ABD, поэтому высоты этих пирамид совпадают. Следовательно, объемы этих пирамид относятся так же, как площади их оснований — четырёхугольника BMKD и треугольника MAK. Из условия следует, что 
то есть прямые MK и BD параллельны, а треугольники MAK и BAD подобны с коэффициентом подобия 
Площади этих треугольников относятся как 
Треугольник BAD состоит из треугольника MAK и трапеции BMKD. Следовательно, площадь трапеции BMKD составляет 
площади треугольника BAD, а площади трапеции BMKD и треугольника MAK относятся как 5 : 4. Таким образом, объёмы многогранников CBMKD и CMAK относятся как 5 : 4.
б) Пусть точка T — середина отрезка BD, а точка L — точка пересечения прямых AT и MK, тогда отрезки AT и CT — высоты равносторонних треугольников ABD и CBD соответственно. Следовательно, плоскость ACT перпендикулярна прямой BD, а потому и прямой MK, лежащей в плоскости CMK. Таким образом, плоскости ACT и CMK перпендикулярны, поэтому искомый угол равен углу ACL. Из треугольника ACT последовательно находим:
По теореме косинусов для треугольника ACL получаем:
Следовательно,
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
PDF-версии: 
