В четырёхуголь­ник ABCD, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 22, впи­са­на окруж­ность, AB  =  8. Най­ди­те длину сто­ро­ны CD.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна  60, DE  — сред­няя линия, па­рал­лель­ная сто­ро­не AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABED.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 54°, AD  — бис­сек­три­са, угол BAD равен 23°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ADB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Даны век­то­ры Най­ди­те длину век­то­ра

Даны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти отсечённой тре­уголь­ной приз­мы равна 18. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что AB  =  9, BC  =  6, AA₁  =  5. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, B₁.

Ци­линдр опи­сан около шара. Объем ци­лин­дра равен 18. Най­ди­те объем шара.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по химии всего 80 би­ле­тов, в 56 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме «Уг­ле­во­до­ро­ды». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­прос по теме «Уг­ле­во­до­ро­ды».

Из рай­он­но­го цен­тра в де­рев­ню еже­днев­но ходит ав­то­бус. Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се ока­жет­ся мень­ше 20 пас­са­жи­ров, равна 0,94. Ве­ро­ят­ность того, что ока­жет­ся мень­ше 15 пас­са­жи­ров, равна 0,56. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что число пас­са­жи­ров будет от 15 до 19.

В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют спортс­ме­ны из четырёх стран: 14 из Ар­ген­ти­ны, 10 из Бра­зи­лии, 15 из Па­раг­вая и 11из Уруг­вая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, вы­сту­па­ю­щий пер­вым, ока­жет­ся из Бра­зи­лии.

Стре­лок стре­ля­ет по од­но­му разу в каж­дую из четырёх ми­ше­ней. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле равна 0,9. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что стре­лок попадёт в две пер­вые ми­ше­ни и не попадёт в две по­след­ние.

Ав­то­ма­ти­че­ская линия из­го­тав­ли­ва­ет ба­та­рей­ки. Ве­ро­ят­ность того, что го­то­вая ба­та­рей­ка не­ис­прав­на, равна 0,2. Перед упа­ков­кой каж­дая ба­та­рей­ка про­хо­дит си­сте­му кон­тро­ля ка­че­ства. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма за­бра­ку­ет не­ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,95. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма по ошиб­ке за­бра­ку­ет ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,05. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная из­го­тов­лен­ная ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на си­сте­мой кон­тро­ля.

При вы­печ­ке хлеба про­из­во­дит­ся кон­троль­ное взве­ши­ва­ние све­жей бу­хан­ки. Из­вест­но, что ве­ро­ят­ность того, что её масса ока­жет­ся мень­ше 810 г, равна 0,96. Ве­ро­ят­ность того, что масса бу­хан­ки ока­жет­ся боль­ше 790 г, равна 0,82. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что масса бу­хан­ки ока­жет­ся боль­ше 790 г, но мень­ше 810 г.

Ор­га­ни­за­то­ры ло­те­реи вы­пу­сти­ли 10 000 би­ле­тов. Вы­иг­ры­ши рас­пре­де­ле­ны сле­ду­ю­щим об­ра­зом.

Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ве­ли­чи­ны «вы­иг­рыш на один билет». Ответ дайте в руб­лях.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (–⁠10; 7). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x), при­над­ле­жа­щих от­рез­ку [–⁠2; 6].

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­ны во­семь точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) от­ри­ца­тель­на?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y  =  f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни со ско­ро­стью υ₀  =  15 м/с, начал тор­мо­же­ние с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a  =  2 м/с². За t се­кунд после на­ча­ла тор­мо­же­ния он прошёл путь Опре­де­ли­те время, про­шед­шее от мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, если из­вест­но, что за это время ав­то­мо­биль про­ехал 36 мет­ров. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

В те­ле­ви­зо­ре ёмкость вы­со­ко­вольт­но­го кон­ден­са­то­ра C  =  8 · 10^–⁠6 Ф. Па­рал­лель­но с кон­ден­са­то­ром под­ключён ре­зи­стор с со­про­тив­ле­ни­ем R  =  5 · 10⁶ Ом. Во время ра­бо­ты те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре U₀  =  56 кВ. После вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре убы­ва­ет до зна­че­ния U (в ки­ло­воль­тах) за время (в се­кун­дах), опре­де­ля­е­мое вы­ра­же­ни­ем где α  =  1,5  — по­сто­ян­ная. Опре­де­ли­те на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре, если после вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра про­шло 180 се­кунд. Ответ дайте в ки­ло­воль­тах.

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a км/ч². Ско­рость вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь. Най­ди­те уско­ре­ние, с ко­то­рым дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы, про­ехав 0,3 ки­ло­мет­ра, при­об­ре­сти ско­рость 120 км/⁠ч. Ответ вы­ра­зи­те в км/⁠ч².

Два ве­ло­си­пе­ди­ста од­но­вре­мен­но от­пра­ви­лись в 90-⁠ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый ехал со ско­ро­стью, на 5 км/⁠ч боль­шей, чем ско­рость вто­ро­го, и при­был к фи­ни­шу на 3 часа рань­ше вто­ро­го. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым. Ответ дайте в км/⁠ч.

Сме­шав 45-про­цент­ный и 97-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 62-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 72-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 45-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Заказ на из­го­тов­ле­ние 112 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет вто­рой ра­бо­чий, если из­вест­но, что пер­вый за час из­го­тав­ли­ва­ет на 2 де­та­ли боль­ше?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те f(10).

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций видов и пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(−3).

В июле 2030 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит 182 000 руб­лей в банке на три года.

Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Сколь­ко руб­лей со­ста­вит общая сумма пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми?

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF точки M и K  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых рёбер SA и SD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BC и MK па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды MABF, если AB  =  12, а угол между плос­ко­стью BMC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCDEF равен 30°.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но так, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CMK делит тет­ра­эдр ABCD на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых от­но­сят­ся как 5 : 4.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мой AC и плос­ко­стью CMK.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На за­во­де име­ет­ся ге­не­ра­тор с ЭДС и внут­рен­ним со­про­тив­ле­ни­ем r  =  1 Ом. Ин­же­нер под­клю­ча­ет к ге­не­ра­то­ру на­груз­ку, ис­поль­зуя рео­стат, чтобы уста­но­вить со­про­тив­ле­ние на­груз­ки R (в омах). Сила тока в цепи (в ам­пе­рах) опре­де­ля­ет­ся за­ко­ном Ома: Теп­ло­вая мощ­ность (в ват­тах), вы­де­ля­е­мая в на­груз­ке, может быть рас­счи­та­на по фор­му­ле Джо­у­ля  — Ленца: Ка­ко­ва мак­си­маль­ная теп­ло­вая мощ­ность P, ко­то­рая может быть вы­де­ле­на на­груз­кой?

Ам­пли­ту­да вы­нуж­ден­ных ко­ле­ба­ний ко­раб­ля при качке на вол­не­нии вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

где k  =  0,91 ко­эф­фи­ци­ент, за­ви­ся­щий от от­но­ше­ния ши­ри­ны ко­раб­ля к длине волны,   — угол наи­боль­ше­го вол­но­во­го скло­на,   — пе­ри­од волны (в се­кун­дах), T  =  14,7 с  — пе­ри­од сво­бод­ных ка­ча­ний ко­раб­ля на тихой воде, n  =  0,0792  — ко­эф­фи­ци­ент, за­ви­ся­щий от ве­ли­чи­ны со­про­тив­ле­ния воды. При каком пе­ри­о­де волны ам­пли­ту­да вы­нуж­ден­ных ко­ле­ба­ний ко­раб­ля будет наи­боль­шей? Ответ дайте в се­кун­дах.

Окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон AB и BC рав­но­бед­рен­но­го ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и его вы­со­ты CH.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка BC, BO  =  1 и AC  =  6.

Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся сто­рон угла с вер­ши­ной N в точ­ках A и B. От­ре­зок BC  — диа­метр этой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AC па­рал­лель­на бис­сек­три­се угла ANB.

б)  Най­ди­те NO, если AB  =  ⁠24 и AC  =  ⁠10.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно 2 ре­ше­ния.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет два ре­ше­ния.

Есть 16 мо­не­ток по 2 рубля и 29 мо­не­ток по 5 руб­лей.

а)  Можно ли взять не­сколь­ко из них так, чтобы сумма взя­тых монет была равна 175?

б)  Можно ли взять не­сколь­ко из них так, чтобы сумма взя­тых монет была равна 176?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство мо­не­ток по 1 рублю нужно до­ба­вить в набор, чтобы можно было по­лу­чить любую целую сумму от 1 до 180 вклю­чи­тель­но?

На столе лежит не­ко­то­рое ко­ли­че­ство кар­то­чек, часть из ко­то­рых си­не­го цвета, а осталь­ные крас­но­го (есть хотя бы по одной кар­точ­ке каж­до­го цвета). На каж­дой кар­точ­ке на­пи­са­но целое число. На кар­точ­ках си­не­го цвета на­пи­са­ны раз­лич­ные числа, де­ля­щи­е­ся на 5, а на кар­точ­ках крас­но­го цвета на­пи­са­ны раз­лич­ные чётные числа (при этом не­ко­то­рые числа могут быть на­пи­са­ны два­жды: один раз на синей кар­точ­ке и один раз на крас­ной кар­точ­ке). Все числа на кар­точ­ках боль­ше –⁠120.

Ока­за­лось, что наи­боль­шее число, на­пи­сан­ное на крас­ной кар­точ­ке, равно удво­ен­но­му ко­ли­че­ству синих кар­то­чек, а наи­боль­шее число, на­пи­сан­ное на синей кар­точ­ке, равно ко­ли­че­ству крас­ных кар­то­чек.

а)  Может ли на столе ле­жать ровно шесть кар­то­чек?

б)  Может ли число крас­ных кар­то­чек на столе быть на 90 боль­ше числа синих кар­то­чек на столе?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кар­то­чек может ле­жать на столе?