РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 704642 Добавить в вариант

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 302 (часть 2);

Демонстрационная версия ЕГЭ—2027. Профильный уровень.

Решите неравенство $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0.$

ИЛИ

Решите неравенство $дробь: числитель: 2 умножить на 8 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 умножить на 8 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 в степени x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: 64 в степени x минус 5 умножить на 8 в степени x плюс 4 конец дроби .$

Решение. Неравенство определено при $логарифм по основанию 2 x больше 0,$ то есть при $x больше 1.$ Преобразуем неравенство при этом ограничении:

$2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0 равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 4 логарифм по основанию x минус 12 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x минус 2 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x меньше или равно логарифм по основанию 2 4, x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 4.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0 равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 4 логарифм по основанию x минус 12 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x минус 2 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x меньше или равно логарифм по основанию 2 4, x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 4.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0 равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 4 логарифм по основанию x минус 12 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x минус 2 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x меньше или равно логарифм по основанию 2 4, x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 4.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 4 логарифм по основанию x минус 12 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x минус 2 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x меньше или равно логарифм по основанию 2 4, x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 4.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 4 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 4 логарифм по основанию x минус 12 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x минус 2 меньше или равно 0, x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 x меньше или равно логарифм по основанию 2 4, x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 4.$

Ответ: $левая круглая скобка 1; 4 правая квадратная скобка .$

ИЛИ

Пусть $t=8 в степени x ,$ тогда $2 умножить на 8 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 умножить на 8 в степени x , знаменатель: 8 конец дроби =0,25t,$ откуда получаем:

$дробь: числитель: 0,25t, знаменатель: 0,25t минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: t в квадрате минус 5t плюс 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: t, знаменатель: t минус 4 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка минус 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$ $дробь: числитель: 0,25t, знаменатель: 0,25t минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: t в квадрате минус 5t плюс 4 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t, знаменатель: t минус 4 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка минус 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$ $дробь: числитель: 0,25t, знаменатель: 0,25t минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: t в квадрате минус 5t плюс 4 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t, знаменатель: t минус 4 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка минус 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t минус 3t плюс 12 минус 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t меньше 1,t=2,t больше 4. конец совокупности .$ $равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t минус 3t плюс 12 минус 8, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t меньше 1,t=2,t больше 4. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений 8 в степени x меньше 1,8 в степени x =2,8 в степени x больше 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 8 в степени x меньше 1,2 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка =2,2 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка больше 2 в квадрате конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше 0,3x=1,3x больше 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше 0,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 302 (часть 2);

Демонстрационная версия ЕГЭ—2027. Профильный уровень.

Ключ