PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один действительный корень.
Решение. Введем функцию
тогда уравнение примет вид 
Функция 
является возрастающей, поэтому полученное уравнение равносильно уравнению 
Тем самым задача свелась к нахождению параметра a, при котором уравнение 
имеет ровно один корень. Возведем в квадрат:
Построим график полученной системы на плоскости xOa. По графику находим, что полученная система, а вместе с ней и исходное уравнение:
— при 
решений не имеют;
— при 
имеют единственное решение 
— при 
имеют два различных положительных корня;
— при 
имеют два корня: 
и 
— при 
имеют два корня, один из которых отрицательный, а другой — положительный.
Исходное уравнение имеет единственный корень при и при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |