а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны 4. На ребре A₁B₁ от­ме­че­на точка N так, что B₁N  =  1. Плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра A₁C₁ и точки N и C.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро BB₁ в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от точки B₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ABB₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

При под­клю­че­нии по­сле­до­ва­тель­но­го кон­ту­ра к ис­точ­ни­ку пе­ре­мен­но­го тока ам­пли­ту­да силы тока I (в ам­пе­рах) в цепи за­ви­сит от цик­ли­че­ской ча­сто­ты ω (в рад/с) и вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой:

где U  =  220 В  — ам­пли­ту­да на­пря­же­ния ис­точ­ни­ка, R  =  44 Ом  — ак­тив­ное со­про­тив­ле­ние цепи, L  =  0,2 Гн  — ин­дук­тив­ность ка­туш­ки, а C  =  20 мкФ  =  20 · 10^–⁠6 Ф  — ем­кость кон­ден­са­то­ра. Най­ди­те наи­боль­шую воз­мож­ную силу тока (в ам­пе­рах) в этой цепи.

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOB и COD равны со­от­вет­ствен­но 4 и 9.

а)  До­ка­жи­те, что про­из­ве­де­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BOC и AOD равно 36.

б)  Най­ди­те ми­ни­маль­но воз­мож­ную пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один дей­стви­тель­ный ко­рень.

Юра и По­ли­на вы­пи­са­ли на доску каж­дый по не­сколь­ко по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. При этом одно и то же число может быть вы­пи­са­но и Юрой, и По­ли­ной. Ока­за­лось, что ни у кого из них на доске нет числа 100, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел Юры в точ­но­сти равно сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му чисел По­ли­ны (и яв­ля­ет­ся целым чис­лом). Из­вест­но, что если к чис­лам Юры до­ба­вить число 100, то сред­нее ариф­ме­ти­че­ское его чисел уве­ли­чит­ся на 2. Если же число 100 до­ба­вить к чис­лам По­ли­ны, то сред­нее ариф­ме­ти­че­ское её чисел уве­ли­чит­ся на 3.

а)  Могло ли у Юры быть вы­пи­са­но ровно на 4 числа боль­ше, чем у По­ли­ны?

б)  Могло ли ис­ход­ное сред­нее ариф­ме­ти­че­ское вы­пи­сан­ных чисел рав­нять­ся 16?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть вы­пи­са­но у По­ли­ны?