Ре­ше­ние. a)  Рас­смот­рим раз­би­е­ние числа 34 на 35 сла­га­е­мых, рав­ных При раз­де­ле­нии этих сла­га­е­мых на две груп­пы в одной из них ока­жет­ся не менее 18 чисел, сумма ко­то­рых равна Зна­чит, S не может быть рав­ным 34.

б)  По­сколь­ку S яв­ля­ет­ся сум­мой двух чисел, не боль­ших 17, по­лу­ча­ем Пусть Рас­смот­рим раз­би­е­ние числа S на 35 сла­га­е­мых, рав­ных При раз­де­ле­нии этих сла­га­е­мых на две груп­пы в одной из них ока­жет­ся не менее 18 чисел, сумма ко­то­рых равна Зна­чит, S не может быть боль­ше

в)  До­ка­жем, что число удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Рас­смот­рим про­из­воль­ное пред­став­ле­ние в виде суммы по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых, не пре­вос­хо­дя­щих 1: Можно счи­тать, что сла­га­е­мые упо­ря­до­че­ны по убы­ва­нию: Первую груп­пу со­ста­вим из k наи­боль­ших сла­га­е­мых так, чтобы Вто­рую груп­пу со­ста­вим из остав­ших­ся сла­га­е­мых.

Пусть В этом слу­чае и По­это­му и Тогда

По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие до­ка­зы­ва­ет, что По­это­му сумма сла­га­е­мых во вто­рой груп­пе

Таким об­ра­зом, число удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что ни одно из чисел не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи, зна­чит, мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние S  — это

Ответ: а) нет; б) нет; в)