Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.
а) Может ли число S быть равным 34?
б) Может ли число S быть больше 
в) Найдите максимально возможное значение 
a) Рассмотрим разбиение числа 34 на 35 слагаемых, равных 
При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна 
Значит, S не может быть равным 34.
б) Поскольку S является суммой двух чисел, не больших 17, получаем 
Пусть 
Рассмотрим разбиение числа S на 35 слагаемых, равных 
При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна 
Значит, S не может быть больше 
в) Докажем, что число 
удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление 
в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: 
Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию: 
Первую группу составим из k наибольших слагаемых так, чтобы 
Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.
Пусть 
В этом случае 
и 
Поэтому 
и 
Тогда 
Полученное противоречие доказывает, что 
Поэтому сумма слагаемых во второй группе 
Таким образом, число 
удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел 
не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение S — это
Ответ: а) нет; б) нет; в)
В пункте а доказывается что S не равно 34 тем, что если разбить его на на 35 слагаемых, тогда в группы пойдет не равное количество слагаемых, и сумма одной группы превзойдет 17. Но если разбить 34 на 70 слагаемых, тогда одно слагаемое будет равно 34/70, а в каждой группе будет по 35 слагаемых, и сумма одной группы будет равна 35*34/70=17. Сумма второй группы при этом также ровна 17, суммы групп тогда равна 34, следуя из этого, пункты б) и в) также равны 34.
У нас все верно. Важным словом в условии задачи является "любое"! Единичные примеры ничего не доказывают и ничего не иллюстрируют.
Здравствуйте.
Возможно в условии пропущено количество слагаемых или каждое должно быть строго меньше 1, иначе набор из 34 единиц подходит! в пункт а) задачи.
С уважением Софья Шилейко
Повторю ответ Константина Лаврова: Важным словом в условии задачи является "любое"! Единичные примеры ничего не доказывают и ничего не иллюстрируют.
К замечанию Софьи: если оно может быть равно 34, то оно может быть равно 34. Вопрос так и звучит: может ли? Но не сказано что должно быть равно 34 при любом.
Про "любое" сказано в условии.
Здравствуйте. В объяснении пункта А было предположено, что всего 35 слагаемых, каждое из которых равно 34/35. Также было сказано, что в одну из групп попадает 18 слагаемых, которые в сумме дают число >17. Но ведь это противоречит условию о том, что сумма слагаемых в каждой группе не превышает 17, следовательно, слагаемое, которое вы привели в качестве примера, не удовлетворяет условию задания!
Илья, Вы практически доказали первый пункт (повторив за нами) методом от противного. Осталось сделать последний шаг - вывод
Условия задачи неверны! Привожу пример, когда выполняется и пункт а) и пункт б): S состоит из 18 слагаемых 17/18 и 19 слагаемых 17/19.
См. комментарии выше и ответы на них.