Каж­дое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по од­но­му за­пи­сы­ва­ют на 10 кар­точ­ках. Кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каж­дой кар­точ­ке скла­ды­ва­ют, а по­лу­чен­ные 10 сумм пе­ре­мно­жа­ют.

а)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в)  Какое наи­мень­шее целое не­от­ри­ца­тель­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

а)  Могло ли быть в груп­пе 10 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков МОГЛО быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

в)  Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?

Име­ет­ся 33 ко­роб­ки мас­сой 19 кг каж­дая и 27 ко­ро­бок мас­сой 49 кг каж­дая. Все эти ко­роб­ки рас­кла­ды­ва­ют­ся по двум кон­тей­не­рам. Пусть S  — мо­дуль раз­но­сти сум­мар­ных масс ко­ро­бок в кон­тей­не­рах. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S:

а)  если до­пол­ни­тель­но тре­бу­ет­ся, что в кон­тей­не­рах долж­но на­хо­дить­ся оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство ко­ро­бок;

б)  без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­та а.

На­зо­вем кусок ве­рев­ки стан­дарт­ным, если его длина не мень­ше 168 см, но не боль­ше 175 см.

а)  Не­ко­то­рый моток ве­рев­ки раз­ре­за­ли на 24 стан­дарт­ных куска, среди ко­то­рых есть куски раз­ной длины. На какое наи­боль­шее число оди­на­ко­вых стан­дарт­ных кус­ков можно было бы раз­ре­зать тот же моток ве­рев­ки?

б)  Най­ди­те такое наи­мень­шее число l, что любой моток ве­рев­ки, длина ко­то­ро­го боль­ше l см, можно раз­ре­зать на стан­дарт­ные куски.

Учи­тель в школе ста­вит от­мет­ки от 1 до 5. Сред­ний балл уче­ни­ка равен 4,625.

а)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство оце­нок может иметь уче­ник?

б)  Если у уче­ни­ка за­ме­нить оцен­ки 3, 3, 5, 5 на две четвёрки, то на сколь­ко мак­си­маль­но может уве­ли­чить­ся сред­ний балл?

На­ту­раль­ные числа от 1 до 12 раз­би­ва­ют на че­ты­ре груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть по край­ней мере два числа. Для каж­дой груп­пы на­хо­дят сумму чисел этой груп­пы. Для каж­дой пары групп на­хо­дят мо­дуль раз­но­сти най­ден­ных сумм и по­лу­чен­ные 6 чисел скла­ды­ва­ют.

а)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в)  Ка­ко­во наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та?

По окруж­но­сти рас­став­ля­ют 48 не­ну­ле­вых целых чисел с общей сум­мой 20. При этом любые два сто­я­щих рядом числа долж­ны от­ли­чать­ся не более чем на 7 и среди любых четырёх под­ряд иду­щих чисел долж­но быть хотя бы одно по­ло­жи­тель­ное.

а)  Среди таких 48 чисел най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных.

б)  Среди таких 48 чисел най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных.

Число S та­ко­во, что для лю­бо­го пред­став­ле­ния S в виде суммы по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 1, эти сла­га­е­мые можно раз­де­лить на две груп­пы так, что каж­дое сла­га­е­мое по­па­да­ет толь­ко в одну груп­пу и сумма сла­га­е­мых в каж­дой груп­пе не пре­вос­хо­дит 17.

а)  Может ли число S быть рав­ным 34?

б)  Может ли число S быть боль­ше

в)  Най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние

В ряд вы­пи­са­ны числа: Между ними про­из­воль­ным об­ра­зом рас­став­ля­ют знаки «» и «» и на­хо­дят по­лу­чив­шу­ю­ся сумму.

Может ли такая сумма рав­нять­ся:

а)  12, если ?

б)  0, если ?

в)  0, если ?

г)  5, если ?