Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д18 C7 № 500412
i

В ряд вы­пи­са­ны числа: 1 в квад­ра­те ,2 в квад­ра­те ,\ldots, левая круг­лая скоб­ка N минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,N в квад­ра­те . Между ними про­из­воль­ным об­ра­зом рас­став­ля­ют знаки « плюс » и « минус » и на­хо­дят по­лу­чив­шу­ю­ся сумму.

Может ли такая сумма рав­нять­ся:

а)  12, если N = 12?

б)  0, если N = 50?

в)  0, если N = 80?

г)  5, если N = 90?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  При сле­ду­ю­щей рас­ста­нов­ке зна­ков по­лу­ча­ет­ся тре­бу­е­мая сумма:

1 в квад­ра­те минус 2 в квад­ра­те минус 3 в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те минус 6 в квад­ра­те минус 7 в квад­ра­те плюс 8 в квад­ра­те плюс 9 в квад­ра­те минус 10 в квад­ра­те минус 11 в квад­ра­те плюс 12 в квад­ра­те =12.

б)  Среди вы­пи­сан­ных 50 чисел 25 чётных и 25 нечётных. По­это­му любая сумма, ко­то­рую можно по­лу­чить, будет нечётной и не может рав­нять­ся 0.

в)  За­ме­тим, что  левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те = 4. Зна­чит, между 8 квад­ра­та­ми по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел можно рас­ста­вить знаки так, что по­лу­чен­ная сумма будет рав­нять­ся 0:

 левая круг­лая скоб­ка a плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус a в квад­ра­те = 0 .

При N = 80 можно раз­бить все дан­ные числа на груп­пы по 8 чисел в каж­дой так, что сумма чисел в каж­дой груп­пе равна 0, а зна­чит, и сумма всех чисел равна 0.

г)  Как и в преды­ду­щем пунк­те, рас­ста­вим знаки между 88 чис­ла­ми 3 в квад­ра­те ,4 в квад­ра­те ,\ldots,89 в квад­ра­те ,90 в квад­ра­те таким об­ра­зом, чтобы их сумма рав­ня­лась 0. Перед 2 в квад­ра­те по­ста­вим знак « плюс ». При такой рас­ста­нов­ке зна­ков сумма равна 1 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс 0 = 5.

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно вы­пол­не­ны все пунк­ты4
Верно вы­пол­не­ны три пунк­та из четырёх3
Верно вы­пол­не­ны два пунк­та из четырёх2
Верно вы­пол­нен один пункт из четырёх1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 500412: 500432 Все

Источник: И. В. Яко­влев: Ма­те­ри­а­лы по ма­те­ма­ти­ке 2012 год
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства