РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 500412 Добавить в вариант

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

В ряд выписаны числа: $1 в квадрате ,2 в квадрате ,\ldots, левая круглая скобка N минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,N в квадрате .$ Между ними произвольным образом расставляют знаки « $плюс$ » и « $минус$ » и находят получившуюся сумму.

Может ли такая сумма равняться:

а)  12, если $N = 12$ ?

б)  0, если $N = 50$ ?

в)  0, если $N = 80$ ?

г)  5, если $N = 90$ ?

Решение. а)  При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма:

$1 в квадрате минус 2 в квадрате минус 3 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 5 в квадрате минус 6 в квадрате минус 7 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 9 в квадрате минус 10 в квадрате минус 11 в квадрате плюс 12 в квадрате =12.$

б)  Среди выписанных $50$ чисел $25$ чётных и $25$ нечётных. Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться $0.$

в)  Заметим, что $левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате = 4.$ Значит, между $8$ квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки так, что полученная сумма будет равняться $0:$

$левая круглая скобка a плюс 7 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0 .$ $левая круглая скобка a плюс 7 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус$
$минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0 .$

При $N = 80$ можно разбить все данные числа на группы по $8$ чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна $0,$ а значит, и сумма всех чисел равна $0.$

г)  Как и в предыдущем пункте, расставим знаки между $88$ числами $3 в квадрате ,4 в квадрате ,\ldots,89 в квадрате ,90 в квадрате$ таким образом, чтобы их сумма равнялась $0.$ Перед $2 в квадрате$ поставим знак « $плюс$ ». При такой расстановке знаков сумма равна $1 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 0 = 5.$

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены все пункты	4
Верно выполнены три пункта из четырёх	3
Верно выполнены два пункта из четырёх	2
Верно выполнен один пункт из четырёх	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.

500412

а) да; б) нет; в) да; г) да.

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500412	а) да; б) нет; в) да; г) да.