Пусть по кругу рас­став­ле­ны числа a₁, a₂, ..., a₄₈. Ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел среди них обо­зна­чим p.

а)  По­сколь­ку сумма всех чисел равна 20, среди них есть как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные. По­это­му

Пусть В этом слу­чае сумма по­ло­жи­тель­ных чисел не менее 47. Но тогда един­ствен­ное от­ри­ца­тель­ное число мень­ше или равно −27 и по­то­му от­ли­ча­ет­ся от со­сед­них чисел более чем на 7. Это про­ти­во­ре­чит усло­вию. Зна­чит,

Пусть Сумма по­ло­жи­тель­ных чисел не менее 46. От­ри­ца­тель­ных чисел всего два, и их сумма мень­ше или равна −26. Зна­чит, одно из от­ри­ца­тель­ных чисел мень­ше или равно −13. Это число от­ли­ча­ет­ся от со­сед­не­го по­ло­жи­тель­но­го числа более чем на 7. По­это­му

При­ведём при­мер, когда По­ло­жим

Сумма этих чисел равна:

Легко ви­деть, что и осталь­ные усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние p равно 45.

б)  Из того, что среди любых четырёх под­ряд иду­щих чисел име­ет­ся хотя бы одно по­ло­жи­тель­ное, сле­ду­ет, что

В самом деле, разобьём наши 48 чисел на 12 четвёрок:

Если то по край­ней мере в одной четвёрке не будет по­ло­жи­тель­но­го числа  — во­пре­ки усло­вию.

Остаётся предъ­явить при­мер с Пусть

а осталь­ные 36 чисел равны −1. Сумма этих чисел:

Осталь­ные усло­вия за­да­чи в дан­ном при­ме­ре также вы­пол­не­ны. Этот при­мер и оцен­ка до­ка­зы­ва­ют, что наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние p равно 12.

Ответ: а) 45; б) 12.