РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

По окружности расставляют 48 ненулевых целых чисел с общей суммой 20. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 7 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.

а)  Среди таких 48 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.

б)  Среди таких 48 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.

Решение. Пусть по кругу расставлены числа a₁, a₂, ..., a₄₈. Количество положительных чисел среди них обозначим p.

а)  Поскольку сумма всех чисел равна 20, среди них есть как положительные, так и отрицательные. Поэтому $p не равно 48.$

Пусть $p = 47.$ В этом случае сумма положительных чисел не менее 47. Но тогда единственное отрицательное число меньше или равно −27 и потому отличается от соседних чисел более чем на 7. Это противоречит условию. Значит, $p не равно 47.$

Пусть $p = 46.$ Сумма положительных чисел не менее 46. Отрицательных чисел всего два, и их сумма меньше или равна −26. Значит, одно из отрицательных чисел меньше или равно −13. Это число отличается от соседнего положительного числа более чем на 7. Поэтому $p не равно 46.$

Приведём пример, когда $p = 45.$ Положим

$a_1 = a_2 = ... = a_45 = 1,$

$a_46 = минус 6,$

$a_47 = минус 13,$

$a_48 = минус 6.$

Сумма этих чисел равна:

$45 минус 6 минус 13 минус 6 = 20.$

Легко видеть, что и остальные условия задачи выполнены. Следовательно, наибольшее возможное значение p равно 45.

б)  Из того, что среди любых четырёх подряд идущих чисел имеется хотя бы одно положительное, следует, что

$p больше 12.$

В самом деле, разобьём наши 48 чисел на 12 четвёрок:

$левая круглая скобка a_1, a_2, a_3, a_4 правая круглая скобка , левая круглая скобка a_5, a_6, a_7, a_8 правая круглая скобка , ..., левая круглая скобка a_45, a_46, a_47, a_48 правая круглая скобка .$

Если $p меньше 12,$ то по крайней мере в одной четвёрке не будет положительного числа  — вопреки условию.

Остаётся предъявить пример с $p = 12.$ Пусть

$a_4 = a_8 = a_12 = ... = a_44 = 5,$ $a_48=1,$

а остальные 36 чисел равны −1. Сумма этих чисел:

$11 умножить на 5 плюс 1 минус 36 = 20.$

Остальные условия задачи в данном примере также выполнены. Этот пример и оценка доказывают, что наименьшее возможное значение p равно 12.

Ответ: а) 45; б) 12.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514946	а) 45; б) 12.

Ключ