Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 514921

Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Спрятать решение

Решение.

Присвоим каждой карточке номер от 1 до 10. Пусть a1, a2, ..., a10 — числа, данные в условии и записанные на карточках вначале (число ak записано на карточке с номером k).

Аналогично, b1, b2, ..., b10 — числа того же набора, но записанные на карточках после их перемешивания. Согласно условию рассматривается число:

c = (a_1 плюс b_1)(a_2 плюс b_2)...(a_10 плюс b_10).

а) Предположим, что c = 0. Тогда в произведении найдётся нулевой множитель, то есть a_k плюс b_k = 0 для некоторого k. Но это невозможно, так как в данном наборе ни для какого числа ak нет ему противоположного по знаку. Значит, 0 получиться не может.

б) Предположим, что c нечётно. Тогда в произведении каждый множитель должен быть нечётным, то есть a_k плюс b_k нечётно для любого k(1 \leqslant k \leqslant 10).

Следовательно, для каждого k в паре (ak, bk) одно число чётное, а другое нечётное. Поэтому в последовательности (a1, ..., a10, b1 ..., b10) окажется 10 чётных и 10 нечётных чисел. Однако из условия вытекает, что указанная последовательность содержит 8 чётных чисел и 12 нечётных.

Возникшее противоречие показывает, что c обязано быть чётным. В частности, 1 получиться не может.

в) Далее считаем, что c > 0. Предположим, что c = 2. Тогда в произведении ровно один из множителей по модулю равен 2, а все остальные по модулю равны 1. Иными словами, a_m плюс b_m = \pm2 для некоторого m и a_k плюс b_k = \pm1 для всех остальных k.

Числа am и bm оба чётные или оба нечётные. В каждой из остальных девяти пар (ak, bk) одно число чётное, а другое нечётное. Стало быть, в последовательности (a1, ..., a10, b1 ..., b10) окажется или 11 чётных и 9 нечётных чисел (если am и bm чётны), или, наоборот, 9 чётных и 11 нечётных чисел (если am и bm нечётны). Но, как было указано выше, чётных и нечётных чисел в этой последовательности имеется 8 и 12 соответственно.

Значит, случай c = 2 невозможен. Поскольку c чётно, имеем оценку: c\geqslant4.

Приведём пример, в котором достигается равенство c = 4. Пусть сначала на карточках написаны числа в исходном порядке:

1, минус 2, минус 3,4, минус 5,7, минус 8,9,10, минус 11.

Затем на тех же карточках оказались числа:

 минус 2,1,4, минус 3,7, минус 5,9, минус 8, минус 11,10.

Получаем:

c = (1 минус 2)( минус 2 плюс 1)( минус 3 плюс 4)(4 минус 3)( минус 5 плюс 7)(7 минус 5)( минус 8 плюс 9)(9 минус 8)(10 минус 11)( минус 11 плюс 10) = 4.

Следовательно, наименьшее неотрицательное значение c равно 4.

 

 

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 500017: 514921 500966 Все

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год