Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Присвоим каждой карточке номер от 1 до 10. Пусть a1, a2, ..., a10 — числа, данные в условии и записанные на карточках вначале (число ak записано на карточке с номером k).
Аналогично, b1, b2, ..., b10 — числа того же набора, но записанные на карточках после их перемешивания. Согласно условию рассматривается число:
а) Предположим, что c = 0. Тогда в произведении найдётся нулевой множитель, то есть 
для некоторого k. Но это невозможно, так как в данном наборе ни для какого числа ak нет ему противоположного по знаку. Значит, 0 получиться не может.
б) Предположим, что c нечётно. Тогда в произведении каждый множитель должен быть нечётным, то есть 
нечётно для любого 
Следовательно, для каждого k в паре (ak, bk) одно число чётное, а другое нечётное. Поэтому в последовательности (a1, ..., a10, b1 ..., b10) окажется 10 чётных и 10 нечётных чисел. Однако из условия вытекает, что указанная последовательность содержит 8 чётных чисел и 12 нечётных.
Возникшее противоречие показывает, что c обязано быть чётным. В частности, 1 получиться не может.
в) Далее считаем, что c > 0. Предположим, что c = 2. Тогда в произведении ровно один из множителей по модулю равен 2, а все остальные по модулю равны 1. Иными словами, 
для некоторого m и 
для всех остальных k.
Числа am и bm оба чётные или оба нечётные. В каждой из остальных девяти пар (ak, bk) одно число чётное, а другое нечётное. Стало быть, в последовательности (a1, ..., a10, b1 ..., b10) окажется или 11 чётных и 9 нечётных чисел (если am и bm чётны), или, наоборот, 9 чётных и 11 нечётных чисел (если am и bm нечётны). Но, как было указано выше, чётных и нечётных чисел в этой последовательности имеется 8 и 12 соответственно.
Значит, случай c = 2 невозможен. Поскольку c чётно, имеем оценку: 
Приведём пример, в котором достигается равенство c = 4. Пусть сначала на карточках написаны числа в исходном порядке:
Затем на тех же карточках оказались числа:
Получаем:
Следовательно, наименьшее неотрицательное значение c равно 4.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |