а)  Среди вось­ми дан­ных чисел нет про­ти­во­по­лож­ных. Зна­чит, сумма чисел на каж­дой кар­точ­ке не равна 0. По­это­му всё про­из­ве­де­ние не может рав­нять­ся нулю.

б)  Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, на какой-то кар­точ­ке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. По­это­му всё про­из­ве­де­ние чётно и не может рав­нять­ся 1.

в)  Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, хотя бы на двух кар­точ­ках с обеих сто­рон на­пи­са­ны нечётные числа, и сумма чисел на каж­дой из этих кар­то­чек чётная. По­это­му всё про­из­ве­де­ние де­лит­ся на 4.

Наи­мень­шее целое по­ло­жи­тель­ное число, де­ля­ще­е­ся на 4, это 4. Оно по­лу­ча­ет­ся при сле­ду­ю­щем на­бо­ре пар чисел на кар­точ­ках: (1; −2); (−2; 1); (−3; 4); (4; −3); (−5; 7); (7; −5); (−8; 9); (9; −8).

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  4.

При­сво­им каж­дой кар­точ­ке номер от 1 до 10. Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀  — числа, дан­ные в усло­вии и за­пи­сан­ные на кар­точ­ках вна­ча­ле (число a_k за­пи­са­но на кар­точ­ке с но­ме­ром k).

Ана­ло­гич­но, b₁, b₂, ..., b₁₀  — числа того же на­бо­ра, но за­пи­сан­ные на кар­точ­ках после их пе­ре­ме­ши­ва­ния. Со­глас­но усло­вию рас­смат­ри­ва­ет­ся число:

а)  Пред­по­ло­жим, что c  =  0. Тогда в про­из­ве­де­нии найдётся ну­ле­вой мно­жи­тель, то есть для не­ко­то­ро­го k. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку в дан­ном на­бо­ре ни для ка­ко­го числа a_k нет ему про­ти­во­по­лож­но­го по знаку. Зна­чит, 0 по­лу­чить­ся не может.

б)  Пред­по­ло­жим, что c нечётно. Тогда в про­из­ве­де­нии каж­дый мно­жи­тель дол­жен быть нечётным, то есть нечётно для лю­бо­го

Сле­до­ва­тель­но, для каж­до­го k в паре (a_k, b_k) одно число чётное, а дру­гое нечётное. По­это­му в по­сле­до­ва­тель­но­сти (a₁, ..., a₁₀, b₁ ..., b₁₀) ока­жет­ся 10 чётных и 10 нечётных чисел. Од­на­ко из усло­вия вы­те­ка­ет, что ука­зан­ная по­сле­до­ва­тель­ность со­дер­жит 8 чётных чисел и 12 нечётных.

Воз­ник­шее про­ти­во­ре­чие по­ка­зы­ва­ет, что c обя­за­но быть чётным. В част­но­сти, 1 по­лу­чить­ся не может.

в)  Далее счи­та­ем, что c > 0. Пред­по­ло­жим, что c  =  2. Тогда в про­из­ве­де­нии ровно один из мно­жи­те­лей по мо­ду­лю равен 2, а все осталь­ные по мо­ду­лю равны 1. Иными сло­ва­ми, для не­ко­то­ро­го m и для всех осталь­ных k.

Числа a_m и b_m оба чётные или оба нечётные. В каж­дой из осталь­ных де­вя­ти пар (a_k, b_k) одно число чётное, а дру­гое нечётное. Стало быть, в по­сле­до­ва­тель­но­сти (a₁, ..., a₁₀, b₁ ..., b₁₀) ока­жет­ся или 11 чётных и 9 нечётных чисел (если a_m и b_m чётны), или, на­о­бо­рот, 9 чётных и 11 нечётных чисел (если a_m и b_m нечётны). Но, как было ука­за­но выше, чётных и нечётных чисел в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти име­ет­ся 8 и 12 со­от­вет­ствен­но.

Зна­чит, слу­чай c  =  2 не­воз­мо­жен. По­сколь­ку c чётно, имеем оцен­ку:

При­ведём при­мер, в ко­то­ром до­сти­га­ет­ся ра­вен­ство c  =  4. Пусть сна­ча­ла на кар­точ­ках на­пи­са­ны числа в ис­ход­ном по­ряд­ке:

Затем на тех же кар­точ­ках ока­за­лись числа:

По­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее не­от­ри­ца­тель­ное зна­че­ние c равно 4.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  4.

а)  Среди вось­ми дан­ных чисел нет про­ти­во­по­лож­ных. Зна­чит, сумма чисел на каж­дой кар­точ­ке не равна 0. По­это­му всё про­из­ве­де­ние не может рав­нять­ся 0.

б)  Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, на какой-то кар­точ­ке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. По­это­му всё про­из­ве­де­ние чётно и не может рав­нять­ся 117.

в)  Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, хотя бы на двух кар­точ­ках с обеих сто­рон на­пи­са­ны нечётные числа, и сумма чисел на каж­дой из этих кар­то­чек чётная. По­это­му все про­из­ве­де­ние де­лит­ся на 4. Наи­мень­шее целое по­ло­жи­тель­ное число, де­ля­ще­е­ся на 4, это 4. Оно по­лу­ча­ет­ся при сле­ду­ю­щем на­бо­ре пар чисел на кар­точ­ках:

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

a)  Среди вось­ми дан­ных чисел нет про­ти­во­по­лож­ных. Зна­чит, сумма чисел на каж­дой кар­точ­ке не равна 0. По­это­му всё про­из­ве­де­ние не может рав­нять­ся нулю.

б)  Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, на какой-то кар­точ­ке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. По­это­му всё про­из­ве­де­ние чётно и не может рав­нять­ся 1.

в)  Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, хотя бы на двух кар­точ­ках с обеих сто­рон на­пи­са­ны нечётные числа, и сумма чисел на каж­дой из этих кар­то­чек чётная. По­это­му всё про­из­ве­де­ние де­лит­ся на 4. Наи­мень­шее целое по­ло­жи­тель­ное число, де­ля­ще­е­ся на 4,  — это 4. Оно по­лу­ча­ет­ся при сле­ду­ю­щем на­бо­ре пар чисел на кар­точ­ках:

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

a)  Среди вось­ми дан­ных чисел нет про­ти­во­по­лож­ных. Зна­чит, сумма чисел на каж­дой кар­точ­ке не равна 0. По­это­му всё про­из­ве­де­ние не может рав­нять­ся нулю.

б)  Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, на какой-то кар­точ­ке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. По­это­му всё про­из­ве­де­ние чётно и не может рав­нять­ся 1.

в)  Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, хотя бы на двух кар­точ­ках с обеих сто­рон на­пи­са­ны нечётные числа, и сумма чисел на каж­дой из этих кар­то­чек чётная. По­это­му всё про­из­ве­де­ние де­лит­ся на 4. Наи­мень­шее целое по­ло­жи­тель­ное число, де­ля­ще­е­ся на 4,  — это 4. Оно по­лу­ча­ет­ся при сле­ду­ю­щем на­бо­ре пар чисел на кар­точ­ках:

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  4.