Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть S — модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
а) если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находиться одинаковое количество коробок;
б) без дополнительного условия пункта а.
a) Всего имеется 33 + 27 = 60 коробок. Значит, в каждом контейнере должно находиться по 30 коробок. Пусть x — количество лёгких (по 19 кг) коробок в первом контейнере. Тогда число тяжёлых (по 49 кг) коробок в первом контейнере равно 
Во втором контейнере лёгких коробок получается 
а тяжёлых коробок: 
Суммарные массы коробок в первом и втором контейнерах равны соответственно:
Отсюда:
Число 
является нечётным и принимает наименьшее возможное значение 1 при 
или 
Следовательно, наименьшее значение S равно 30.
б) Пусть в первом контейнере находится x лёгких коробок и y тяжёлых коробок. Тогда во втором контейнере будет 
и 
лёгких и тяжёлых коробок соответственно. Имеем:
При этом имеют место неравенства:
Величина S равна:
Нам, таким образом, требуется найти минимальное значение S при условии, что выполнены оба неравенства.
Заметим, что возможен прямой перебор всех значений x и 
то
есть последовательное рассмотрение всех 
вариантов. Вообще, исчерпывающий перебор конечного числа вариантов — это полноценное решение задачи! Но мы, естественно, таким путём не пойдём и поищем способ избежать прямого перебора.
Прежде всего проверим, не может ли S равняться нулю. Для этого рассмотрим уравнение:
Будем использовать остатки от деления на 7. Перепишем уравнение следующим образом:
Нетрудно проверить, что 975 даёт остаток 2 
Значит, и слагаемое 5x даёт остаток 2 (ведь остальные слагаемые в левой части делятся на 7). Какой остаток при этом даёт сам x? Перебор остатков от 0 до 6 показывает, что единственная возможность — это остаток 6, то есть
Подставляем в
и после сокращения на 7:
Благодаря этому сокращению уравнение проще уравнения. Давайте повторим всю эту процедуру — теперь уже применительно к уравнению. Начинаем так же:
Правая часть 123 даёт остаток 4 
Значит, и 5k даёт остаток 4. Тогда k может давать только остаток 5:
Подставляя 
в 
получим: 
Таким образом, оказывается, что 
— вопреки первому неравенству.
Итак, уравнение не имеет решений, удовлетворяющих условию. Поэтому 
А какие решения есть? Давайте всё же доведём до конца решение уравнения — полезно посмотреть, чем дело кончится. Подставим:
Отсюда видно, что единственная возможность — это m = 0 и y = 4. Остаётся найти x. Последовательно получаем: 
Поскольку S является чётным числом, имеем оценку: 
Равенство достигается, например, в случае x = 23 и y = 11:
Следовательно, наименьшее значение S равно 2.
Ответ: а) 30; б) 2.