РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть S  — модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:

а)  если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находиться одинаковое количество коробок;

б)  без дополнительного условия пункта а.

Решение. a)  Всего имеется 33 + 27 = 60 коробок. Значит, в каждом контейнере должно находиться по 30 коробок. Пусть x  — количество лёгких (по 19 кг) коробок в первом контейнере. Тогда число тяжёлых (по 49 кг) коробок в первом контейнере равно $30 минус x.$ Во втором контейнере лёгких коробок получается $33 минус x,$ а тяжёлых коробок: $27 минус левая круглая скобка 30 минус x правая круглая скобка = x минус 3.$

Суммарные массы коробок в первом и втором контейнерах равны соответственно:

$m_1 = 19x плюс 49 левая круглая скобка 30 минус x правая круглая скобка = 1470 минус 30x,$

$m_2 = 19 левая круглая скобка 33 минус x правая круглая скобка плюс 49 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка = 480 плюс 30x.$

Отсюда:

$S = |m_2 минус m_1| = |60x минус 990| = 30|2x минус 33|.$

Число $|2x минус 33|$ является нечётным и принимает наименьшее возможное значение 1 при $x = 16$ или $x = 17.$ Следовательно, наименьшее значение S равно 30.

б)  Пусть в первом контейнере находится x лёгких коробок и y тяжёлых коробок. Тогда во втором контейнере будет $33 минус x$ и $27 минус y$ лёгких и тяжёлых коробок соответственно. Имеем:

$m_1 = 19x плюс 49y,$

$m_2 = 19 левая круглая скобка 33 минус x правая круглая скобка плюс 49 левая круглая скобка 27 минус y правая круглая скобка = 1950 минус 19x минус 49y.$

При этом имеют место неравенства:

$x меньше или равно 33, y меньше или равно 27.$

Величина S равна:

$S = |38x плюс 98y минус 1950| = 2|19x плюс 49y минус 975|.$

Нам, таким образом, требуется найти минимальное значение S при условии, что выполнены оба неравенства.

Заметим, что возможен прямой перебор всех значений x и $y левая круглая скобка 0 меньше или равно x меньше или равно 33, 0 меньше или равно y меньше или равно 27 правая круглая скобка ,$ то

есть последовательное рассмотрение всех $34 умножить на 28$ вариантов. Вообще, исчерпывающий перебор конечного числа вариантов  — это полноценное решение задачи! Но мы, естественно, таким путём не пойдём и поищем способ избежать прямого перебора.

Прежде всего проверим, не может ли S равняться нулю. Для этого рассмотрим уравнение:

$19x плюс 49y = 975.$

Будем использовать остатки от деления на 7. Перепишем уравнение следующим образом:

$5x плюс 14x плюс 49y = 975.$

Нетрудно проверить, что 975 даёт остаток 2 $левая круглая скобка 975 = 139 умножить на 7 плюс 2 правая круглая скобка .$ Значит, и слагаемое 5x даёт остаток 2 (ведь остальные слагаемые в левой части делятся на 7). Какой остаток при этом даёт сам x? Перебор остатков от 0 до 6 показывает, что единственная возможность  — это остаток 6, то есть

$x = 7k плюс 6. левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Подставляем в

$19 левая круглая скобка 7k плюс 6 правая круглая скобка плюс 49y = 975,$

$19 умножить на 7k плюс 49y = 861,$

и после сокращения на 7:

$19k плюс 7y = 123.$

Благодаря этому сокращению уравнение проще уравнения. Давайте повторим всю эту процедуру  — теперь уже применительно к уравнению. Начинаем так же:

$5k плюс 14k плюс 7y = 123.$

Правая часть 123 даёт остаток 4 $левая круглая скобка 123 = 17 умножить на 7 плюс 4 правая круглая скобка .$ Значит, и 5k даёт остаток 4. Тогда k может давать только остаток 5:

$k = 7m плюс 5. левая круглая скобка ** правая круглая скобка$

Подставляя $левая круглая скобка ** правая круглая скобка$ в $левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ получим: $x = 7 левая круглая скобка 7m плюс 5 правая круглая скобка плюс 6 = 49m плюс 41.$ Таким образом, оказывается, что $x больше 41$   — вопреки первому неравенству.

Итак, уравнение не имеет решений, удовлетворяющих условию. Поэтому $больше S не равно 0.$

А какие решения есть? Давайте всё же доведём до конца решение уравнения  — полезно посмотреть, чем дело кончится. Подставим:

$19 левая круглая скобка 7m плюс 5 правая круглая скобка плюс 7y = 123,$

$19 умножить на 7m плюс 7y = 28,$

$19m плюс y = 4.$

Отсюда видно, что единственная возможность  — это m  =  0 и y  =  4. Остаётся найти x. Последовательно получаем: $k = 7 умножить на 0 плюс 5 = 5,$ $x = 7 умножить на 5 плюс 6 = 41.$

Поскольку S является чётным числом, имеем оценку: $S больше 2.$ Равенство достигается, например, в случае x  =  23 и y  =  11:

$S = 2 умножить на |19 умножить на 23 плюс 49 умножить на 11 минус 975| = 2 умножить на |976 минус 975| = 2.$

Следовательно, наименьшее значение S равно 2.

Ответ: а) 30; б) 2.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514922	а) 30; б) 2.

Ключ