а)  Пусть уче­ник имеет n оце­нок, и S  — их сумма. Тогда:

От­сю­да зна­чит, n де­лит­ся на 8. По­это­му

При­ведём при­мер с Пусть уче­ник имеет семь пятёрок и двой­ку. Тогда его сред­ний балл:

Итак, наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство оце­нок уче­ни­ка равно 8.

б)  Пусть уче­ник имел оцен­ки 3, 3, 5, 5, a₁, a₂, ..., a_k. Обо­зна­чим

За­ме­тим сразу, что

По­смот­рим, какие огра­ни­че­ния на k на­кла­ды­ва­ет тот факт, что сред­ний балл равен 4,625. Сумма оце­нок уче­ни­ка равна ко­ли­че­ство оце­нок равно так что

От­сю­да легко по­лу­ча­ем:

Пра­вая часть долж­на де­лить­ся на 8. Число 20 при де­ле­нии на 8 даёт оста­ток 4. Зна­чит, 37k при де­ле­нии на 8 также долж­но да­вать оста­ток 4. Какой оста­ток даёт само k? По­сколь­ку и 32k де­лит­ся на 8, число 5k при де­ле­нии на 8 даёт оста­ток 4. Пе­ре­би­рая остат­ки от 0 до 7, легко видим, что и k даёт оста­ток 4:

Под­став­ля­ем это:

и после со­кра­ще­ния на 8 по­лу­чим:

от­ку­да то есть Это даёт нам нуж­ное не­ра­вен­ство на k:

Пусть те­перь оцен­ки уче­ни­ка стали 4, 4, a₁, a₂, ..., a_k. Сумма оце­нок равна ко­ли­че­ство оце­нок равно На­хо­дим из­ме­не­ние сред­не­го балла:

Имеем:

Мак­си­маль­ное зна­че­ние ∆ до­сти­га­ет­ся при ми­ни­маль­но воз­мож­ном зна­че­нии k, рав­ном 12:

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное уве­ли­че­ние сред­не­го балла со­став­ля­ет

Ответ: а) 8; б) на