СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 500217

Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит

а) Может ли число быть равным

б) Может ли число быть больше

в) Найдите максимально возможное значение

Решение.

a) Рассмотрим разбиение числа на слагаемых, равных При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее чисел, сумма которых равна Значит, не может быть равным

б) Поскольку является суммой двух чисел, не больших получаем Пусть Рассмотрим разбиение числа на слагаемых, равных При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее чисел, сумма которых равна Значит, не может быть больше

в) Докажем, что число удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих Можно считать, что слагаемые упорядочены по не возрастанию: Первую группу составим из небольших слагаемых так, чтобы Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.

Пусть В этом случае и Поэтому то есть и Тогда

Полученное противоречие доказывает, что Поэтому сумма слагаемых во второй группе

Таким образом, число удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение  — это

Ответ: а) нет; б) нет; в)


Аналоги к заданию № 500217: 500391 Все

Источник: ЕГЭ 10.07.2012 по математике. Вто­рая волна. Ва­ри­ант 501.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии, Последовательности и прогрессии