РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 503364 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 702;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013.

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности, Использование симметрий, оценок, монотонности

Задача с параметром. Использование монотонности, оценок

Найдите все значения a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y, удовлетворяющих неравенству

$4|x плюс 3| плюс 3|x минус a| меньше или равно корень из: начало аргумента: 16 минус y в квадрате конец аргумента плюс 2.$

Решение. Рассмотрим две функции: $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4\left|x плюс 3| плюс 3\left|x минус a|$ и $g левая круглая скобка y правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 16 минус y в квадрате конец аргумента плюс 2.$

Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4\left|x плюс 3| плюс 3\left|x минус a|$ является кусочно-линейной, причём при $x меньше минус 3$ угловой коэффициент равен либо −1, либо −7, а при $x больше минус 3$ угловой коэффициент равен либо 1, либо 7. Значит, функция f(x) убывает при $x меньше минус 3$ и возрастает при $x больше минус 3,$ поэтому $f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =3\left|a плюс 3|.$

Поскольку $y в квадрате больше или равно 0,$ получаем: $g левая круглая скобка y правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = 6.$

Если $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка больше g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ,$ то $f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка больше g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше или равно g левая круглая скобка y правая круглая скобка ,$ поэтому неравенство $f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка y правая круглая скобка$ не имеет решений.

Если $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ,$ то пара чисел $x = минус 3, у = 0$ удовлетворяет неравенству $f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка y правая круглая скобка .$ Получаем:

$f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно 3\left|a плюс 3| меньше или равно 6 равносильно минус 2 меньше или равно a плюс 3 меньше или равно 2 равносильно минус 5 меньше или равно a\leqslant минус 1.$

Ответ: [−5; −1].

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Обоснованно получены все значения: $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , а = 0.$ Ответ отличается от верного только исключением точки $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ и/или включением точки $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби$	3
Обоснованно получены все значения: $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , а = 0$	2
Верно найдено одно или два из значений $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби$ или $а = 0$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных вышe	0
Максимальный балл	4

503364

[−5; −1].

Источники:

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 702;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013.

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Неравенства смешанного типа

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	503364	[−5; −1].