Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку AA₁  — пер­пен­ди­ку­ляр к ВС, а BB₁  — пер­пен­ди­ку­ляр к AС (см. рис.), углы AHB₁ и ACB равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми.

б)  Сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, ве­ли­чи­на про­ти­во­ле­жа­ще­го ей угла и от­ре­зок вы­со­ты, про­ведённой из вер­ши­ны этого угла в точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка, свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем:

Ответ:

При­ведём ав­тор­ское ре­ше­ние.

а)  В четырёхуголь­ни­ке углы и   — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, около этого четырёхуголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, причём AH  — её диа­метр. Впи­сан­ные углы и опи­ра­ют­ся на одну дугу, сле­до­ва­тель­но,

Углы и   — пря­мые, зна­чит, точки и лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром Сле­до­ва­тель­но,

По­лу­ча­ем, что

б)  В тре­уголь­ни­ке диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти от­ку­да

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке имеем:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке имеем:

По­лу­ча­ем, что Тре­уголь­ни­ки ABC и имеют общий угол A и сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны. Тогда Зна­чит,

При­ведём ре­ше­ние Егора Ва­ля­е­ва из Аль­ме­тьев­ска.

а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ник B₁AH. Пусть угол AHB₁ равен α, тогда ∠HAB₁  =  90° − α. Опу­стим из точки A вы­со­ту AA₁ на сто­ро­ну BC. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AA₁C, в ко­то­ром ∠A₁CA  =  180° − ∠AA₁C − ∠A₁AC (углы HAB₁ и A₁AC равны и ∠A₁AC  =  90° − α). Вы­чис­лим угол A₁CA  =  180° − 90° − (90° − α)  =  α, сле­до­ва­тель­но, ∠ACB = ∠A₁CA  =  α = ∠AHB₁.

б)  Рас­смот­рим тре­уголь­ник B₁AB, в нем ∠BAB₁  =  30°, от­ку­да по­лу­ча­ем:

а зна­чит, и от­ку­да

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник AHB₁ и за­ме­тим, что

На­ко­нец, рас­смот­рим тре­уголь­ник B₁BC: в нем Так как из пунк­та а) из­вест­но, что углы BCB₁, ACB и AHB₁ равны, имеем:

Тогда