РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 507741 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x минус 3 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 плюс логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби 4.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$система выражений новая строка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x в квадрате минус 6 правая круглая скобка в квадрате , новая строка x в квадрате минус x минус 3 больше 0 конец системы равносильно система выражений новая строка 4 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x минус 3 правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка 3x в квадрате минус 6 правая круглая скобка в квадрате , новая строка x в квадрате минус x минус 3 больше 0, новая строка 3x в квадрате минус 6 не равно 0. конец системы$ $система выражений новая строка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x в квадрате минус 6 правая круглая скобка в квадрате , новая строка x в квадрате минус x минус 3 больше 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 4 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x минус 3 правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка 3x в квадрате минус 6 правая круглая скобка в квадрате , новая строка x в квадрате минус x минус 3 больше 0, новая строка 3x в квадрате минус 6 не равно 0. конец системы$

Заметим, что $3x в квадрате минус 6= левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x минус 3 правая круглая скобка .$ Пусть $x в квадрате минус x минус 3=a,2x в квадрате плюс x минус 3=b.$ Тогда неравенство системы принимает вид:

$4ab\geqslant левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате равносильно a в квадрате минус 2ab плюс b в квадрате меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0.$

Данное неравенство выполняется только при $a=b.$ Значит,

$x в квадрате минус x минус 3=2x в квадрате плюс x минус 3 равносильно x в квадрате плюс 2x=0 равносильно совокупность выражений новая строка x=0, новая строка x= минус 2. конец совокупности$

С учётом ограничений из первой системы получаем, что $x= минус 2$

Ответ: −2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2