ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 507741 Добавить в вариант

Решите неравенство: $логарифм по основанию 3 (x в квадрате минус x минус 3) плюс логарифм по основанию 3 (2x в квадрате плюс x минус 3) больше или равно логарифм по основанию 3 (x в квадрате минус 2) в квадрате плюс 2 плюс логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби 4.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

$система выражений новая строка логарифм по основанию 3 (4(x в квадрате минус x минус 3)(2x в квадрате плюс x минус 3)) больше или равно логарифм по основанию 3 (3x в квадрате минус 6) в квадрате , новая строка x в квадрате минус x минус 3 больше 0 конец системы равносильно система выражений новая строка 4(x в квадрате минус x минус 3)(2x в квадрате плюс x минус 3)\geqslant(3x в квадрате минус 6) в квадрате , новая строка x в квадрате минус x минус 3 больше 0, новая строка 3x в квадрате минус 6 не равно 0. конец системы$

Заметим, что $3x в квадрате минус 6=(x в квадрате минус x минус 3) плюс (2x в квадрате плюс x минус 3).$ Пусть $x в квадрате минус x минус 3=a,2x в квадрате плюс x минус 3=b.$ Тогда неравенство системы принимает вид:

$4ab\geqslant(a плюс b) в квадрате равносильно a в квадрате минус 2ab плюс b в квадрате меньше или равно 0 равносильно (a минус b) в квадрате меньше или равно 0.$

Данное неравенство выполняется только при $a=b.$ Значит,

$x в квадрате минус x минус 3=2x в квадрате плюс x минус 3 равносильно x в квадрате плюс 2x=0 равносильно совокупность выражений новая строка x=0, новая строка x= минус 2. конец совокупности$

С учётом ограничений из первой системы получаем, что $x= минус 2$

Ответ: −2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства, 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Бублик Маковый 11.03.2016 15:29

Как предполагается увидеть, что такая сумма есть?( в строчке "Заметим, что...") Может, есть какое-то свойство или признак?

Александр Иванов

Два квадратных трёхчлена $x в квадрате минус x минус 3 и2x в квадрате плюс x минус 3$ указаны в условии. Нужно именно ЗАМЕТИТЬ, что их сумма равна $3x в квадрате минус 6$

Игорь Николаев 02.04.2016 09:43

Почему не учли,что $2x в квадрате плюс x минус 3 больше 0$

Александр Иванов

Это учитывается автоматически.

Вот похожий по смыслу пример: $\lg a плюс \lg b больше \lg c равносильно система выражений \lg ab больше \lg c,b больше 0. конец системы . равносильно система выражений ab больше c,b больше 0,c больше 0. конец системы .$ В этой системе если b и c положительные, то а не может не быть положительным