Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507741

Решите неравенство:  логарифм по основанию 3 (x в квадрате минус x минус 3) плюс логарифм по основанию 3 (2x в квадрате плюс x минус 3) больше или равно логарифм по основанию 3 (x в квадрате минус 2) в квадрате плюс 2 плюс логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби 4.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

 система выражений  новая строка логарифм по основанию 3 (4(x в квадрате минус x минус 3)(2x в квадрате плюс x минус 3)) больше или равно логарифм по основанию 3 (3x в квадрате минус 6) в квадрате , новая строка x в квадрате минус x минус 3 больше 0 конец системы равносильно система выражений  новая строка 4(x в квадрате минус x минус 3)(2x в квадрате плюс x минус 3)\geqslant(3x в квадрате минус 6) в квадрате , новая строка x в квадрате минус x минус 3 больше 0, новая строка 3x в квадрате минус 6 не равно 0. конец системы

Заметим, что 3x в квадрате минус 6=(x в квадрате минус x минус 3) плюс (2x в квадрате плюс x минус 3). Пусть x в квадрате минус x минус 3=a,2x в квадрате плюс x минус 3=b. Тогда неравенство системы принимает вид:

4ab\geqslant(a плюс b) в квадрате равносильно a в квадрате минус 2ab плюс b в квадрате меньше или равно 0 равносильно (a минус b) в квадрате меньше или равно 0.

Данное неравенство выполняется только при a=b. Значит,

x в квадрате минус x минус 3=2x в квадрате плюс x минус 3 равносильно x в квадрате плюс 2x=0 равносильно совокупность выражений  новая строка x=0, новая строка x= минус 2. конец совокупности

С учётом ограничений из первой системы получаем, что x= минус 2

 

Ответ: −2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Бублик Маковый 11.03.2016 15:29

Как предполагается увидеть, что такая сумма есть?( в строчке "Заметим, что...") Может, есть какое-то свойство или признак?

Александр Иванов

Два квадратных трёхчлена x в квадрате минус x минус 3 и2x в квадрате плюс x минус 3 указаны в условии. Нужно именно ЗАМЕТИТЬ, что их сумма равна 3x в квадрате минус 6

Игорь Николаев 02.04.2016 09:43

Почему не учли,что 2x в квадрате плюс x минус 3 больше 0

Александр Иванов

Это учитывается автоматически.

Вот похожий по смыслу пример: \lg a плюс \lg b больше \lg c равносильно система выражений \lg ab больше \lg c,b больше 0. конец системы . равносильно система выражений ab больше c,b больше 0,c больше 0. конец системы . В этой системе если b и c положительные, то а не может не быть положительным