PDF-версии: 
Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60°.
а) Докажите, что существует точка О (центр вписанной сферы), одинаково удаленная ото всех граней пирамиды.
б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.
Решение. а) Пусть основание пирамиды трапеция ABCD, точки K, L, M и N — основания перпендикуляров опущенных из вершины пирамиды S на стороны основания. SO — высота пирамиды. Тогда прямоугольные треугольники SOK, SOL, SOM и SON равны по катету SO и острому углу (линейному углу двугранного угла между основанием и боковой гранью равному 60o). Следовательно, OK = OL = OM = ON и точка O является центром окружности, вписанной в трапецию. Из равенства указанных треугольников будет следовать, что каждая точка высоты равноудалена от боковых граней пирамиды. Осталось на высоте SO найти точку, равноудаленную и от боковых граней, и от основания. Очевидно, что таковой будет являться точка G — пересечение высоты SO c биссектрисой одного из углов указанных треугольников, например, SMO (все биссектрисы углов этих треугольников, в силу равенства, будут пересекать SO в одной точке). Таким образом, существование необходимой точки доказано.
б) По условию трапеция равнобедренная, а по доказанному в пункте а) в нее можно вписать окружность. Поэтому, ее боковые стороны 
высота 
а радиус вписанной окружности 
Значит, площадь трапеции 
Теперь вычислим апофемы боковых граней 
Тогда площадь поверхности
Ответ: б) 468.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |